BOJ 9066:: 금고

$A_i$를 처음에 $i$번 칸이 수평이면 0, 수직이면 1로 정의하고 $S_i$를 $i$번 칸을 눌러야 하면 1, 아니면 0으로 정의합니다. 그러면 2×2인 경우에 다음이 성립합니다.

\begin{align*} (A_1 + S_1 + S_2 + S_3) \ \% \ 2 &= 0 \\ (A_2 + S_1 + S_2 + S_4) \ \% \ 2 &= 0 \\ (A_3 + S_1 + S_3 + S_4) \ \% \ 2 &= 0 \\ (A_4 + S_2 + S_3 + S_4) \ \% \ 2 &= 0 \end{align*}

위와 같이 변수 $S_1$, $S_2$, …이 $n^2$개인 방정식 $n^2$개가 나오므로 가우스 소거법으로 풀 수 있습니다. 시간복잡도는 $O(n^6)$입니다. 

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

vector<int> gaussian_elim(vector<vector<int>> a, vector<int> b) {
    int n = a.size();
    for (int i = 0; i < n-1; i++) {
        if (!a[i][i]) {
            int first;
            for (first = i+1; first < n && !a[first][i]; first++);
            assert(first < n);
            for (int j = i; j < n; j++)
                swap(a[i][j], a[first][j]);
            swap(b[i], b[first]);
        }
        for (int j = i+1; j < n; j++)
            if (a[j][i]) {
                for (int k = i; k < n; k++)
                    a[j][k] = (a[i][k] + a[j][k]) % 2;
                b[j] = (b[i] + b[j]) % 2;
            }
    }
    for (int i = n-1; i >= 1; i--)
        for (int j = i-1; j >= 0; j--)
            if (a[j][i]) {
                a[j][i] = 0;
                b[j] = (b[i] + b[j]) % 2;
            }
    return b;
}

int main(void) {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    cout.tie(nullptr);

    int t, n;
    char c;

    cin >> t;
    while (t--) {
        cin >> n;
        vector<vector<int>> a(n*n, vector<int>(n*n));
        for (int i = 0; i < n*n; i++)
            for (int j = 0; j < n*n; j++)
                a[i][j] = (i / n == j / n || i % n == j % n)? 1 : 0;

        vector<int> b(n*n);
        for (int i = 0; i < n*n; i++) {
            cin >> c;
            b[i] = c == 'H'? 0 : 1;
        }
        vector<int> x = gaussian_elim(a, b);
        cout << accumulate(x.begin(), x.end(), 0) << '\n';
    }

    return 0;
}
PS