제2 그린 항등식
영역 $\Omega$에서 정의되는 스칼라 함수 $f$와 $g$에 대해 발산 정리에 $f\nabla g - g\nabla f$를 대입해봅시다.
\[ \begin{aligned}
\oiint (f\nabla g - g\nabla f)\cdot\n\dS
&= \iiint\limits_\Omega \nabla\cdot(f\nabla g - g\nabla f)\dV \\
&= \iiint\limits_\Omega (\nabla f\cdot\nabla g + f\nabla^2 g - \nabla g\cdot\nabla f - g\nabla^2 f)\dV \\
&= \iiint\limits_\Omega (f\nabla^2 g - g\nabla^2 f)\dV
\end{aligned} \]
이 식을 제2 그린 항등식(Green’s second identity)이라고 합니다.
그린 함수
어떠한 선형 미분 연산자 $\mathcal{L}$와 점 $\x_0$가 주어질 때 그린 함수(Green’s function) $\G(\x, \x_0)$는 연산자를 적용하였을 때 디랙 델타 함수 $\delta(\x - \x_0)$가 되는 함수를 말합니다.
\[ \mathcal{L}\G(\x, \x_0) = \delta(\x - \x_0) \]
여기서 다루는 라플라스 방정식의 라플라시안은 선형 미분 연산자이므로 그린 함수를 정의할 수 있습니다. 3차원에서는
\[ \G(\x, \x_0) = -\frac{1}{4\pi|\x-\x_0|} \]
이고 2차원에서는
\[ \G(\x, \x_0) = \frac{1}{2\pi} \ln|\x-\x_0| \]
입니다.
경계 적분 방정식
제2 그린 항등식에서 $f$에 라플라스 방정식을 만족하는 속도 퍼텐셜 $\phi$를, $g$에 라플라시안의 그린 함수 $\G(\x, \x_0)$를 대입하면
\begin{equation} \begin{aligned}
\oiint [ \phi\nabla\G(\x, \x_0) - \G(\x, \x_0)\nabla\phi ]\cdot\n\dS
&= \iiint\limits_\Omega [ \phi\nabla^2\G(\x, \x_0) - \G(\x, \x_0)\cancel{\nabla^2\phi} ] \dV \\
&= \iiint\limits_\Omega \phi\delta(\x - \x_0) \dV
\end{aligned} \label{eq:surfint} \end{equation}
$\x$와 $\x_0$가 같이 나와서 헷갓릴 수 있는데 $\x_0$는 주어진 점이고 모든 미분과 적분은 $\x$에 대해 합니다.
식 \eqref{eq:surfint}는 라플라스 방정식의 경계 적분 방정식(boundary integral equation)입니다. 좌변의 적분은 두 항으로 분리할 수 있습니다.
\begin{equation*}
\oiint (-\nabla\phi\cdot\n) \G(\x, \x_0) \dS \kern0.2em
+ \oiint \phi\nabla\G(\x, \x_0)\cdot\n \dS
\end{equation*}
첫 번째 항은 그린 함수의 표면 분포에 의한 퍼텐셜로 단층 퍼텐셜(single-layer potential)이라고 합니다. 두 번째 항은 그린 함수의 법선 방향 미분의 표면 분포가 만드는 퍼텐셜로 이중층 퍼텐셜(double-layer potential)이라고 합니다. 일반적으로 곡면 $S$ 위에서 정의된 표면 밀도 함수 $f$에 대하여 단층 퍼텐셜과 이중층 퍼텐셜은 다음과 같이 정의합니다.
\begin{align}
\mathcal{I}(\x_0) &= \iint\limits_S f\G(\x, \x_0)\dS \label{eq:single-layer} \\
\mathcal{J}(\x_0) &= \iint\limits_S f\nabla\G(\x, \x_0)\cdot\n \dS \label{eq:double-layer}
\end{align}
식 \eqref{eq:surfint}의 단층과 이중층 퍼텐셜은 각각 표면 밀도 함수가 $\nabla\phi\cdot\n$과 $\phi$인 경우에 해당합니다.
한편 우변은 디랙 델타 함수의 성질에 따라 $\x_0$가 어디에 속하냐에 따라 달라집니다.
\begin{equation*}
\iiint\limits_\Omega \phi\delta(\x-\x_0)\dV = \begin{cases}
\phi(\x_0), &\text{if } \x_0 \in \Omega \\
??, &\text{if } \x_0 \in \rd\Omega \\
0, &\text{otherwise} \\
\end{cases}
\end{equation*}
$\x_0$가 $\Omega$ 내에 있거나 아예 바깥에 있으면 적분이 자명하지만 $\rd\Omega$ 위에 있으면 꽤나 복잡합니다. 특히 이때는 단층과 이중층 퍼텐셜도 잘 정의되지 않는데, 이 경우는 나중에 다루겠습니다.
영역 $\Omega$를 원점을 중심으로 하는 반지름 1인 구의 내부로 정의합시다.
라플라스 방정식을 만족하는 퍼텐셜
\begin{equation*} \phi(r, \theta, \varphi) = r^2(3\cos^2\theta - 1) + 4r\cos\theta + 1 \end{equation*}
에 대해 $\x_0=(r_0, \theta_0, \varphi_0)$를 $r_0>0$,
$\theta_0=0$인 점으로 두면 경계 적분 방정식은 잘 성립할까요?
먼저 $\rd\Omega$ 위에서 다음이 성립합니다.
\begin{align*}
\phi &= 3\cos^2\theta + 4\cos\theta \\
\nabla\phi\cdot\n &= \frac{\rd\phi}{\rd r} = 6\cos^2\theta + 4\cos\theta - 2
\end{align*}
경계 적분 방정식에는 그린 함수도 필요합니다. 미분과 적분은 $\x$에
대해서 하는데 면적분 영역이 $\rd\Omega$이므로 $\x$를
$\rd\Omega$ 상의 점으로 두면 $\x=(1,\theta,\varphi)$로 나타낼 수
있습니다. 따라서 $\rd\Omega$ 상에서
\begin{align*}
|\x - \x_0| &= \left\{ r^2 + r_0^2 - 2rr_0[\sin\theta\sin\theta_0\cos(\varphi-\varphi_0) + \cos\theta\cos\theta_0] \right\}^{1/2} \\
\G(\x, \x_0) &= -\frac{1}{4\pi}\left\{ r^2 + r_0^2 - 2rr_0[\sin\theta\sin\theta_0\cos(\varphi-\varphi_0) + \cos\theta\cos\theta_0] \right\}^{-1/2} \\
&= -\frac{1}{4\pi\left( r_0^2 + 1 - 2r_0\cos\theta \right)} \\
\nabla\G(\x, \x_0)\cdot\n &= \frac{\rd\G(\x, \x_0)}{\rd r} \\
&= \frac{r - r_0[\sin\theta\sin\theta_0\cos(\varphi-\varphi_0) + \cos\theta\cos\theta_0]}{4\pi\left\{ r^2+r_0^2-2rr_0[\sin\theta\sin\theta_0\cos(\varphi-\varphi_0) + \cos\theta\cos\theta_0] \right\}^{3/2}} \\
&= \frac{1 - r_0\cos\theta}{4\pi\left( r_0^2 + 1 - 2r_0\cos\theta \right)^{3/2}}
\end{align*}
이제 단층 퍼텐셜은
\begin{align*}
\mathcal{I} &= \kern0.5em\oiint (-\nabla\phi\cdot\n) \G(\x, \x_0) \dS \\
&= \frac{1}{2\pi} \oiint \frac{3\cos^2\theta + 2\cos\theta - 1}{\left( r_0^2 + 1 - 2r_0\cos\theta \right)^{1/2}} \dS \\
&= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}\int_0^\pi \frac{3\cos^2\theta + 2\cos\theta - 1}{\left( r_0^2 + 1 - 2r_0\cos\theta \right)^{1/2}} \sin\theta \ud\theta\ud\varphi \\
&= \int_{-1}^1 \frac{3t^2 + 2t - 1}{\left( r_0^2 + 1 - 2r_0t \right)^{1/2}} \ud t \\
&= -\frac{4}{r_0}|r_0-1| - \frac{8}{3r_0^2}|r_0-1|^3 - \frac{2}{5r_0^3}|r_0-1|^5 - \frac{4}{3r_0^2}|r_0+1|^5 - \frac{4}{3r_0^2}|r_0+1|^3 + \frac{2}{5r_0^3}|r_0+1|^5 \\
&= \begin{cases}
\displaystyle \frac{4}{5}r_0^2 + \frac{4}{3}r_0, &\text{for } 0 < r_0 < 1 \\
\displaystyle \frac{4}{3r_0^2} + \frac{4}{5r_0^3}, &\text{for } r_0 > 1
\end{cases}
\end{align*}
마찬가지로 이중층 퍼텐셜은
\begin{align*}
\mathcal{J} &= \kern0.5em\oiint \phi\nabla\G(\x, \x_0)\cdot\n \dS \\
&= \frac{1}{4\pi} \oiint \frac{(3\cos^2\theta + 4\cos\theta)(1-r_0\cos\theta)}{\left( r_0^2 + 1 - 2r_0\cos\theta \right)^{1/2}} \dS \\
&= \frac{1}{4\pi} \int_0^{2\pi}\int_0^\pi \frac{(3\cos^2\theta + 4\cos\theta)(1-r_0\cos\theta)}{\left( r_0^2 + 1 - 2r_0\cos\theta \right)^{1/2}} \sin\theta \ud\theta\ud\varphi \\
&= \frac{1}{2} \int_0^\pi \frac{(1-r_0t)(3t^2+4t)}{r_0^2+1-2r_0t} \ud t \\
&= -\frac{7r_0-7}{2r_0}|r_0-1|^{-1} - \frac{17r_0-10}{2r_0^2}|r_0-1| - \frac{13r_0-3}{3r_0^3}|r_0-1|^3 - \frac{3}{5r_0^3}|r_0-1|^5 \\
&\qquad\quad + \frac{r_0+1}{r_0}|r_0+1|^{-1} + \frac{r_0+2}{2r_0^2}|r_0+1| - \frac{5r_0+3}{3r_0^3}|r_0+1|^3 + \frac{3}{5r_0^3}|r_0+1|^5 \\
&= \begin{cases}
\displaystyle \frac{6}{5}r_0^2 + \frac{8}{3}r_0 + 1, &\text{for } 0 < r_0 < 1 \\
\displaystyle -\frac{4}{3r_0^2} - \frac{4}{5r_0^3}, &\text{for } r_0 > 1
\end{cases}
\end{align*}
따라서 둘의 합은
\begin{equation*}
\mathcal{I} + \mathcal{J} = \begin{cases}
2r_0^2 + 4r_0 + 1, &\text{for } 0 < r_0 < 1 \\
0, &\text{for } r_0 > 1
\end{cases}
\end{equation*}
이고, 예상한 바와 같이 경계 적분 방정식은 잘 성립합니다. 단,
$r_0=1$인 경우는 적분이 제대로 정의되지 않으므로 제외합니다.
코시 주요값
어떤 점 $\x=\x_0$에서 발산하는 함수 $f(\x)$를 $\x_0$가 포함되는 영역 $\Omega$에서 적분하려고 합니다. 이때 이 적분의 코시 주요값(Cauchy principal value, PV)은 $\x_0$를 중심으로 거리 $\epsilon$ 이내인 영역 $S_\epsilon$을 제외한 나머지에서 적분한 뒤, 극한 $\epsilon\rightarrow0$을 취한 것입니다.
\[ \PV\int\limits_\Omega f(\x) = \lim_{\epsilon\rightarrow0} \int\limits_{\Omega\setminus S_\epsilon} f(\x) \]
$f(\x)$가 $\x_0$에서 발산하지 않거나 이상적분이 수렴하면 코시 주요값은 일반적인 적분과 같습니다.
코시 주요값의 개념을 사용하여 식 \eqref{eq:single-layer}과 \eqref{eq:double-layer}에서 점 $\x_0$가 표면 $S$ 위에 있는 경우에도 단층 및 이중층 퍼텐셜을 정의할 수 있습니다.
열린 영역 $\Omega$의 경계 $\rd\Omega$와 표면 밀도 함수 $f=1$에 대해 점
$\x_0$가 $S$ 상에 있을 때 코시 주요값으로 정의되는 이중층 퍼텐셜
\begin{equation*}
\mathcal{J}(\x_0) = \PV \oiint \nabla\G(\x, \x_0)\cdot\n \dS
\end{equation*}
를 계산해봅시다. $\x_0$를 중심으로 하는 반지름 $\epsilon$짜리 구의
내부를 $B_\epsilon$이라 하고 $S_\epsilon = S \cap B_\epsilon$이라
하면 정의에 의해 코시 주요값은 다음과 같습니다.
\begin{equation*}
\mathcal{J}(\x_0) = \lim_{\epsilon\rightarrow0} \iint\limits_{\rd\Omega\setminus S_\epsilon} \nabla\G(\x, \x_0)\cdot\n \dS
\end{equation*}
여기서 $\Omega_\epsilon = \Omega \setminus B_\epsilon$,
$\widetilde{S}_\epsilon = \Omega\cap\rd B_\epsilon$으로 정의하면
$\rd\Omega_\epsilon$은 $\rd\Omega\setminus S_\epsilon$과
$\widetilde{S}_\epsilon$으로 분할되고 $\x_0$는 $\Omega_\epsilon$에
속하지 않으므로
\begin{align*}
\iint\limits_{\rd\Omega\setminus S_\epsilon} \nabla\G(\x, \x_0)\cdot\n \dS
&= \kern0.5em\subset\!\!\supset\kern-1.79em\iint\limits_{\rd\Omega_\epsilon} \nabla\G(\x, \x_0)\cdot\n \dS - \iint\limits_{\widetilde{S}_\epsilon} \nabla\G(\x, \x_0)\cdot\n \dS \\
&= \iiint\limits_{\Omega_\epsilon} \nabla^2\G(\x, \x_0) \dV - \iint\limits_{\widetilde{S}_\epsilon} \nabla\G(\x, \x_0)\cdot\n \dS \\
&= \cancel{\iiint\limits_{\Omega_\epsilon} \delta(\x-\x_0) \dV} - \iint\limits_{\widetilde{S}_\epsilon} \nabla\G(\x, \x_0)\cdot\n \dS \\
&= -\iint\limits_{\widetilde{S}_\epsilon} \nabla\G(\x, \x_0)\cdot\n \dS
\end{align*}
여기서 $\n$의 방향은 $\widetilde{S}_\epsilon$ 상에서 $\x_0$를 향하는
방향입니다.
\begin{equation*} \n = - \frac{\x-\x_0}{|\x-\x_0|} \quad \text{on} \quad \widetilde{S}_\epsilon \end{equation*}
한편 3차원 그린 함수의 기울기는
\begin{equation*} \nabla\G(\x, \x_0) = \frac{1}{4\pi}\frac{\x-\x_0}{|\x-\x_0|^3} \end{equation*}
이므로 위 적분은
\begin{align*}
-\iint\limits_{\widetilde{S}_\epsilon} \nabla\G(\x, \x_0)\cdot\n \dS
&= -\iint\limits_{\widetilde{S}_\epsilon} \frac{1}{4\pi}\frac{\x-\x_0}{|\x-\x_0|^3}\cdot\left( -\frac{\x-\x_0}{|\x-\x_0|} \right) \dS \\
&= \frac{1}{4\pi\epsilon^2}\iint\limits_{\widetilde{S}_\epsilon} \dS \\
&= \frac{\text{Area of } \widetilde{S}_\epsilon}{\text{Area of } \rd B_\epsilon}
\end{align*}
$\widetilde{S}_\epsilon$ 상에서 $|\x-\x_0| = \epsilon$인 데
유의합시다. 따라서 구하는 이중층 퍼텐셜은 최종적으로
\begin{equation*}
\mathcal{J}(\x_0) = \lim_{\epsilon\rightarrow0} \frac{\text{Area of } \widetilde{S}_\epsilon}{\text{Area of } \rd B_\epsilon}
\end{equation*}
이 값의 의미는 점 $\x_0$의 주변 중에서 $\Omega$에 속하는 부분의
비율입니다. 만약 $\rd\Omega$가 $\x_0$에서 미분 가능하다면
$\epsilon$이 매우 작을 때 근사적으로 평면에 가까우니 이 값은 정확히
$\frac{1}{2}$이 됩니다. 이 값은 퍼텐셜 이론에서 빈번히 사용되는
값이므로 간단히 $c(\x_0)$로 표현합시다.
\[ c(\x_0) \equiv \lim_{\epsilon\rightarrow0} \frac{\text{Area of } \widetilde{S}_\epsilon}{\text{Area of } \rd B_\epsilon} \]
위에서는 3차원에 대해 계산하였지만 2차원에서도 동일한 방법으로 계산할
수 있으며 결과 또한 같습니다.
퍼텐셜의 연속성
열린 영역 $\Omega$와 함수 $f(\x)$, 그리고 $\rd\Omega$ 상의 점 $\x_0$에 대해 $f^+(\x_0)$를 $\Omega$ 내에서 $\x\rightarrow\x_0$로 갈 때 $f(\x)$의 극한으로, $f^-(\x_0)$를 $\Omega$ 밖에서 $\x\rightarrow\x_0$로 갈 때의 극한으로 정의합시다. 일종의 좌극한과 우극한입니다.
\begin{align}
f^+(\x_0) &= \lim_{\x\in\Omega\rightarrow\x_0} f(\x) \\
f^-(\x_0) &= \lim_{\x\in\Omega^C\rightarrow\x_0} f(\x)
\end{align}
$f^+(\x_0)$, $f^-(\x_0)$, $f(\x_0)$를 비교하면 함수 $f$가 $\rd\Omega$에서 연속인지 판별할 수 있습니다. 그렇다면 과연 단층과 이중층 퍼텐셜은 연속일까요?
열린 영역 $\Omega$와 유한한 면적을 가지는 경계 $\rd\Omega$ 위에서 연속이고 발산하지 않는 표면 밀도 함수 $f(\x)$에 대해 이중층 퍼텐셜은 $\rd\Omega$에서 불연속이며 그 크기는 $f(\x)$이다. 정확히는, $\rd\Omega$ 위의 점 $\x_0$에 대해
$\mathcal{J}^+$, $\mathcal{J}^-$, $\mathcal{J}$의 관계는 다음과 같다.
\begin{align}
\mathcal{J}^+(\x_0) &= [1-c(\x_0)]f(\x_0) + \mathcal{J}(\x_0) \label{eq:j-plus} \\
\mathcal{J}^-(\x_0) &= -c(\x_0)f(\x_0) + \mathcal{J}(\x_0) \label{eq:j-minus}
\end{align}
이중층 퍼텐셜의 정의를 변형합니다. $\rd\Omega$ 위의 점 $\y_0$에 대해
\begin{align*}
\mathcal{J}(\y) &= \kern0.5em\oiint f(\x) \nabla\G(\x, \y)\cdot\n \dS \\
&= \underbrace{\kern0.5em\oiint \left[ f(\x) - f(\y_0) \right] \nabla\G(\x, \y)\cdot\n \dS}_{\equiv F(\y, \y_0)}
+ f(\y_0) \oiint \nabla\G(\x, \y)\cdot\n \dS \\
&= F(\y, \y_0) + f(\y_0) \iiint\limits_\Omega \nabla^2\G(\x, \y) \dV \\
&= F(\y, \y_0) + f(\y_0) \iiint\limits_\Omega \delta(\x - \y) \dV
\end{align*}
$\y\in\Omega$이면 위 식은
\[ \mathcal{J}(\y) = F(\y, \y_0) + f(\y_0) \]
한편 $\y = \y_0$이면 예제 2의 결과에 따라
\[
\mathcal{J}(\y_0)
= F(\y_0, \y_0) + f(\y_0) \ \PV \oiint \nabla\G(\x, \y_0)\cdot\n \dS
= F(\y_0, \y_0) + c(\y_0) f(\y_0)
\]
두 식의 차는
\begin{equation*}
\mathcal{J}(\y) - \mathcal{J}(\y_0) = F(\y, \y_0) - F(\y_0, \y_0) + [1 - c(\y_0)]f(\y_0)
\end{equation*}
따라서 식 \eqref{eq:j-plus}를 증명하려면 다음을 증명해야 합니다.
\begin{equation}
\lim_{\y\in\Omega\rightarrow\y_0} [ F(\y, \y_0) - F(\y_0, \y_0) ] = 0 \label{eq:f-diff-limit}
\end{equation}
여기서 극한 안의 식은 코시 주요값을 이용하여 아래와 같이 정의됩니다.
\begin{align*}
F(\y, \y_0) - F(\y_0, \y_0)
&= \kern0.5em\oiint \kern0.2em [f(\x) - f(\y_0)] \nabla\G(\x, \y)\cdot\n \dS \\
&\qquad- \PV \oiint \kern0.2em [f(\x) - f(\y_0)] \nabla\G(\x, \y_0)\cdot\n \dS \\
&= \PV \oiint \kern0.2em [f(\x) - f(\y_0)] [\nabla\G(\x, \y)\cdot\n - \nabla\G(\x, \y_0)\cdot\n] \dS \\
&= \lim_{\gamma\rightarrow0} \iint\limits_{\rd\Omega\setminus S_\gamma} \kern0.2em [f(\x) - f(\y_0)] [\nabla\G(\x, \y)\cdot\n - \nabla\G(\x, \y_0)\cdot\n] \dS
\end{align*}
$S_\gamma$는 $\rd\Omega$ 중 $\y_0$까지의 거리가 $\gamma$ 미만인 부분입니다. 그러므로 식 \eqref{eq:f-diff-limit}의 좌변은
\begin{equation*}
\lim_{\y\in\Omega\rightarrow\y_0} \lim_{\gamma\rightarrow0} \iint\limits_{\rd\Omega\setminus S_\gamma} \kern0.2em [f(\x) - f(\y_0)] [\nabla\G(\x, \y)\cdot\n - \nabla\G(\x, \y_0)\cdot\n] \dS
\end{equation*}
이 극한값이 0이라는 사실을 보이는 건 수학적으로 상당히 복잡한 과정입니다. 일단은 두 극한의 순서를 바꿀 수 있고, 다음 극한이 0이라는 사실을 받아들입시다. 엄밀하게 증명하려면 극한 $\y\in\Omega\rightarrow\y_0$를 $\y_0$로 수렴하는 점열 $\{\y_n\}$의 극한으로 바꾸고, 무어-오스굿 정리(Moore-Osgood theorem)를 사용합니다.
\begin{equation*}
\lim_{\y\in\Omega\rightarrow\y_0} \iint\limits_{\rd\Omega\setminus S_\gamma} \kern0.2em [f(\x) - f(\y_0)] [\nabla\G(\x, \y_n)\cdot\n - \nabla\G(\x, \y_0)\cdot\n] \dS = 0
\end{equation*}
식 \eqref{eq:j-minus}의 증명도 이상과 동일합니다.
마찬가지로 단층 퍼텐셜의 연속성에 대한 정리가 있습니다. 증명은 동일하니 생략합니다.
열린 영역 $\Omega$와 유한한 면적을 가지는 경계 $\rd\Omega$ 위에서 연속이고
발산하지 않는 표면 밀도 함수 $f(\x)$에 대해 단층 퍼텐셜은 $\rd\Omega$ 위에서
연속이다. 즉, $\rd\Omega$ 위의 점 $\x_0$에 대해
\begin{equation}
\mathcal{I}^+(\x_0) = \mathcal{I}^-(\x_0) = \mathcal{I}(\x_0) \label{eq:i-continuity}
\end{equation}
위 정리들을 사용하여 $\x_0$가 $\rd\Omega$ 위에 있을 때 경계 적분 방정식 \eqref{eq:surfint}의 우변을 구할 수 있습니다. 점 $\x$가 $\Omega$ 내에 있으면
\begin{equation*}
\mathcal{I}(\x) + \mathcal{J}(\x) = \phi(\x)
\end{equation*}
이고, 극한 $\x\rightarrow\x_0\in\rd\Omega$를 생각하면
\begin{equation*}
\mathcal{I}^+(\x_0) + \mathcal{J}^+(\x_0) = \phi(\x_0)
\end{equation*}
여기서 식 \eqref{eq:j-plus}와 \eqref{eq:i-continuity}를 대입하여 다음 결과를 얻습니다. 경계 적분 방정식에서 이중층 퍼텐셜의 표면 밀도 함수는 퍼텐셜 $\phi$임에 유의합시다.
\begin{equation*} \mathcal{I}(\x_0) + \mathcal{J}(\x_0) = c(\x_0)\phi(\x_0) \end{equation*}
외부 퍼텐셜 유동
외부 퍼텐셜 유동은 유동 영역이 유계가 아니므로 무한히 먼 거리에서의 경계 조건을 고려해야 합니다. 표면 밀도 함수가 발산하지 않고 경계 $\rd\Omega$의 넓이가 유한하면 무한히 먼 거리에서 단층과 이중층 퍼텐셜은 0으로 수렴하기 때문에 경계 적분 방정식은 무한히 먼 거리에서 0인 퍼텐셜에 대해서만 성립합니다.
일반적으로 외부 유동은 속도장 $\V$를 자유흐름 속도 $\V_\infty$와 물체가 만드는 교란(disturbance) $\V_d$로 나눌 수 있습니다.
\[ \V = \V_\infty + \V_d \]
왜 퍼텐셜 유동인지를 설명했을 때 비압축성 비점섬 유동이고 자유흐름이 퍼텐셜 유동이면 전체 유동도 퍼텐셜 유동이라고 했었죠. $\V$와 $\V_\infty$ 모두가 퍼텐셜 유동이라고 가정합시다. 이 경우 $\V_d$도 퍼텐셜 유동입니다.
\begin{equation*} \nabla\times\V_d = \nabla\times\V - \nabla\times\V_\infty = \mathbf{0} \end{equation*}
교란에 대한 퍼텐셜은 다음을 만족합니다.
\[ \phi_d = \phi - \phi_\infty \]
여기서
\begin{align*}
\nabla\phi &= \V \\
\nabla\phi_\infty &= \V_\infty \\
\nabla\phi_d &= \V_d
\end{align*}
무한히 먼 거리에서는 $\V = \V_\infty$, $\phi = \phi_\infty$로 쓸 수 있으므로 교란의 퍼텐셜 $\phi_d$는 0으로 수렴합니다. 따라서 $\phi_d$에 대해서는 외부 유동에서도 경계 적분 방정식을 그대로 쓸 수 있습니다.
\[
\oiint (-\nabla\phi_d\cdot\n) \G(\x, \x_0) \dS \kern0.2em
+ \oiint \phi_d\nabla\G(\x, \x_0)\cdot\n \dS
= \begin{cases}
\phi_d(\x_0), &\text{if } \x_0 \in \Omega \\
c(\x_0)\phi_d(\x_0), &\text{if } \x_0 \in \rd\Omega \\
0, &\text{otherwise}
\end{cases}
\]
중심이 원점에 있고 반지름이 $a$인 원통으로 균일한 자유흐름
$\V_\infty = U\mathbf{i}$가 흐를 때 원통 주변의 2차원 퍼텐셜 유동을
구하여라.
먼저 유동 영역을 정의합니다.
\begin{equation*}
\Omega: \ \{ (r, \theta) | r > a \}
\end{equation*}
경계 $\rd\Omega$ 위의 점 $\x=(a, \theta)$와 점 $\x_0=(r_0, \theta_0)$에
대하여 경계에서의 그린 함수와 그 법선 방향 기울기는
\begin{align*}
|\x-\x_0| &= \left[ (r\cos\theta - r_0\cos\theta_0)^2 + (r\sin\theta - r_0\sin\theta_0)^2 \right]^{1/2} \\
&= \left[ r^2 + r_0^2 - 2rr_0\cos(\theta-\theta_0) \right]^{1/2} \\
\G(\x, \x_0) &= \frac{1}{2\pi} \ln \left[ r^2 + r_0^2 - 2rr_0\cos(\theta-\theta_0) \right]^{1/2} \\
&= \frac{1}{4\pi} \ln \left[ r_0^2 + a^2 - 2r_0a\cos(\theta-\theta_0) \right] \\
\nabla\G(\x, \x_0)\cdot\n &= -\frac{\rd\G(\x, \x_0)}{\rd r} \\
&= -\frac{1}{2\pi} \frac{r-r_0\cos(\theta-\theta_0)}{r^2+r_0^2-2rr_0\cos(\theta-\theta_0)} \\
&= -\frac{1}{2\pi} \frac{a-r_0\cos(\theta-\theta_0)}{r_0^2+a^2-2r_0a\cos(\theta-\theta_0)}
\end{align*}
여기서 $\n$은 $\Omega$를 원통 외부로 정의했기 때문에 원점을 향하는
단위벡터 $-\mathbf{e}_r$인 데 주의합시다.
한편 자유 흐름의 속도 퍼텐셜은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
\begin{equation*}
\phi_\infty = Ux = Ur\cos\theta
\end{equation*}
경계 조건에 의해 경계 위의 점에서는
\begin{gather*}
\V\cdot\n = \nabla\phi_\infty\cdot\n + \nabla\phi_d\cdot\n = 0 \\
\therefore \nabla\phi_d\cdot\n = -\nabla\phi_\infty\cdot\n = \frac{\rd\phi_\infty}{\rd r} = U\cos\theta
\end{gather*}
경계에서 $\nabla\phi_d\cdot\n$의 값을 구했으므로 단층 퍼텐셜은 계산할 수
있습니다. 이중층 퍼텐셜까지 계산하려면 $\phi_d$도 계산해야겠죠. $\x_0$를
$\rd\Omega$ 위의 점 $(a, \theta_0)$로 두면 경계 적분 방정식은
\begin{align*}
\mathcal{I}(a, \theta_0) &= \PV \oint\limits_{\rd\Omega} (-U\cos\theta) \frac{1}{4\pi} \ln \left[ 2a^2 - 2a^2\cos(\theta-\theta_0) \right] a\ud\theta \\
&= \lim_{\epsilon\rightarrow0} \int_{\theta_0+\epsilon}^{2\pi+\theta_0-\epsilon} (-U\cos\theta) \frac{1}{4\pi} \ln \left[ 2a^2 - 2a^2\cos(\theta-\theta_0) \right] a\ud\theta \\
&= \frac{1}{2}Ua\cos\theta_0 \\
\mathcal{J}(a, \theta_0) &= \PV \oint\limits_{\rd\Omega} -\frac{\phi_d(a, \theta)}{4\pi} \ud\theta \\
&= -\frac{1}{4\pi} \int_0^{2\pi} \phi_d(a, \theta) \ud\theta
\end{align*}
\begin{equation*}
\therefore \frac{1}{2}Ua\cos\theta_0 - \frac{1}{4\pi} \int_0^{2\pi} \phi_d(a, \theta) \ud\theta = \frac{1}{2}\phi_d(a, \theta_0)
\end{equation*}
위 식은 함수 $f(\theta) = \phi_d(a, \theta)$에 대한 적분 방정식입니다.
여기서는 풀이를 생략하고 답만 간단하게 쓰겠습니다.
\begin{equation*}
\phi_d(a, \theta) = Ua\cos\theta
\end{equation*}
따라서 일반적인 $\x_0$에서 단층과 이중층 퍼텐셜은
\begin{align*}
\mathcal{I}(r_0, \theta_0) &= \int_0^{2\pi} (-U\cos\theta) \frac{1}{4\pi} \ln [r_0^2 + a^2 - 2r_0a\cos(\theta-\theta_0)] a\ud\theta \\
&= \begin{cases}
\displaystyle \frac{Ur_0}{2}\cos\theta_0, &\text{if } r_0 < a \\
\displaystyle \frac{Ua^2}{2r_0}\cos\theta_0, &\text{if } r_0 > a
\end{cases} \\
\mathcal{J}(r_0, \theta_0) &= \int_0^{2\pi} (Ua\cos\theta) \left[ -\frac{1}{2\pi}\frac{a-r_0\cos(\theta-\theta_0)}{r_0^2+a^2-2r_0a\cos(\theta-\theta_0)} \right] a\ud\theta \\
&= \begin{cases}
\displaystyle -\frac{Ur_0}{2}\cos\theta_0, &\text{if } r_0 < a \\
\displaystyle \frac{Ua^2}{2r_0}\cos\theta_0, &\text{if } r_0 > a
\end{cases}
\end{align*}
이고, 둘의 합은 영역 $\Omega$ 내에선 교란의 퍼텐셜
\begin{equation*}
\phi_d(r_0, \theta_0) = \mathcal{I}(r_0, \theta_0) + \mathcal{J}(r_0, \theta_0) = \frac{Ua^2}{r_0}\cos\theta_0 \qquad \text{for } \ r_0 > a
\end{equation*}
이며 밖에선 경계 적분 방정식에 맞게 0이 됩니다.
\begin{equation*}
\mathcal{I}(r_0, \theta_0) + \mathcal{J}(r_0, \theta_0) = 0 \qquad \text{for } \ r_0 < a
\end{equation*}
또한 $r_0=a$에서 단층 퍼텐셜은 연속이고 이중층 퍼텐셜은 불연속이며 그
불연속의 크기가 $\phi_d(a, \theta_0)$임을 눈여겨봅시다.
결과적으로 전체 유동장의 퍼텐셜은 자유흐름 퍼텐셜을 더하여
\begin{equation*}
\phi(r, \theta) = \phi_\infty(r, \theta) + \phi_d(r, \theta) = U\left( r + \frac{a^2}{r} \right) \cos\theta
\end{equation*}