열확산율
다음과 같은 1차원 열전달 문제를 생각해봅시다.
영역 $y>0$에 비압축성 유체가 가득 차 있고, $y=0$은 벽으로 막혀 있다.
처음에는 벽과 유체 모두 온도가 $T_1$이었지만, 시각 $t=0$에 갑자기 벽의
온도가 $T_2$로 바뀌었다. 이때 온도의 변화를 구하여라. 단, 압력은 위치와
시각에 관계없이 항상 일정하며 유체는 이동하지 않는다.
직관적으로는 시간이 지날수록 벽에 가까운 영역부터 온도 $T_2$에 점점 가까워질 겁니다. 먼저 경계 조건은 다음과 같습니다.
\begin{align*}
T(y, 0) &= T_1 && \text{for } y > 0 \\
T(0, t) &= T_2 && \text{for } t \ge 0 \\
T(\infty, t) &= T_1 && \text{for } t \ge 0
\end{align*}
마지막 경계 조건은 벽에서 무한히 떨어진 곳은 시간이 아무리 지나더라도 온도가 $T_1$으로 유지될 것이라는 의미입니다. 한편 지배 방정식은 앞에서 다룬 열 방정식입니다.
\[ \frac{\rd T}{\rd t} = \alpha\frac{\rd^2 T}{\rd y^2} \]
변수 분리법을 사용하면 풀 수 있는 꼴의 2변수 함수이지만, 더 간단하게는 버킹엄 파이 정리를 사용해 1변수 함수로 바꿔 풀 수 있습니다. 온도 변화를 아래와 같이 정리해봅시다.
\[ T - T_1 = f(y, t, \alpha, T_2 - T_1) \]
버킹엄 파이 정리를 쓰면
\[ \Theta = f(\eta) \]
여기서
\begin{equation*} \Theta = \frac{T-T_1}{T_2-T_1} \qquad \eta = \frac{y}{\sqrt{\alpha t}} \end{equation*}
이를 열 방정식에 대입하여 방정식을 무차원화합니다.
\[ \frac{\ud^2\Theta}{\ud\eta^2} + \frac{\eta}{2}\frac{\ud\Theta}{\ud\eta} = 0 \label{eq:nondim} \]
경계조건도 무차원화해야죠.
\begin{align*}
T(y, 0) &= T_1 &\Rightarrow&& \Theta(\infty) &= 0 \\
T(0, t) &= T_2 &\Rightarrow&& \Theta(0) &= 1 \\
T(\infty, t) &= T_1 &\Rightarrow&& \Theta(\infty) &= 0
\end{align*}
세 개였던 경계조건이 무차원화 과정에서 두 개로 줄어들어 식 \eqref{eq:nondim}의 해를 결정하는 데 부족하거나 과하지 않습니다. 무차원화가 잘 된 것이라고 볼 수 있겠습니다. 이제 본격적으로 해를 구해보면
\begin{align*}
&\frac{\ud^2\Theta}{\ud\eta^2} + \frac{\eta}{2}\frac{\ud\Theta}{\ud\eta} = 0
&&\Rightarrow&& \frac{\ud\Theta'}{\ud\eta} = -\frac{\eta}{2}\Theta' && \\
&&&\Rightarrow&& \frac{\ud\Theta'}{\Theta'} = -\frac{\eta}{2}\ud\eta && \\
&&&\Rightarrow&& \ln\Theta' = -\frac{\eta^2}{4} + C && \\
&&&\Rightarrow&& \Theta' = A e^{-(\eta/2)^2} && (A=e^C) \\
&&&\Rightarrow&& \int_1^\Theta \ud\Theta = A \int_0^\eta e^{-(\eta/2)^2} \ud\eta && (\because f(0) = 1) \\
&&&\Rightarrow&& \Theta = A\sqrt{\pi} \ \mathrm{erf}\left(\frac{\eta}{2}\right) + 1 && \\
&&&\therefore&& \Theta = 1 - \mathrm{erf}\left(\frac{\eta}{2}\right) = \mathrm{erfc}\left(\frac{\eta}{2}\right) && (\because f(\infty) = 0)
\end{align*}
보기 편하게 원래대로 $T$, $y$와 $t$의 식으로 바꿔줍니다.
\[ \frac{T-T_1}{T_2-T_1} = \mathrm{erfc}\left( \frac{y}{2\sqrt{\alpha t}} \right) \]
이로부터 알 수 있는 사실은 다음과 같습니다.
- $y>0$, $t>0$일 때 $0<\mathrm{erfc}(\eta/2)<1$이므로 $T$의 값은 $T_1$과 $T_2$ 사이입니다. 꽤나 당연하네요.
- $y$가 클수록, $\alpha$와 $t$가 작을수록 $T$는 $T_1$에 가깝습니다.
- 반대로 $y$가 작을수록, $\alpha$와 $t$가 클수록 $T$는 $T_2$에 가깝습니다.
- 같은 시각, 같은 위치라면 $\alpha$가 클수록 $T$는 $T_2$에 더 가깝습니다. 즉, 벽에서의 온도 변화가 그만큼 빨리 확산된다는 것이죠. 이것이 $\alpha$를 열확산율이라고 부르는 이유입니다.
동점성
동점성에 대해서도 열확산율과 동일한 해석이 가능합니다. 흔히 스토크스의 첫 번째 문제(Stokes’ first problem)라는 아래 2차원 유동 문제를 봅시다.
영역 $y>0$에 비압축성 유체가 가득 차 있고, $y=0$은 벽으로 막혀 있다.
처음에는 벽과 유체 모두 정지해있었지만, 시각 $t=0$에 갑자기 벽이 $+x$
방향으로 속력 $U$로 움직이기 시작하였다. 이때 속도장을 구하여라. 단,
체적력은 작용하지 않으며 $x$ 방향으로 속도와 압력의 변화는 없다.
먼저 경계 조건은 위 문제와 마찬가지로
\begin{align*}
u(y, 0) &= 0 && \text{for } y > 0 \\
u(0, t) &= U && \text{for } t \ge 0 \\
u(\infty, t) &= 0 && \text{for } t \ge 0 \\
v(y, 0) &= 0 && \text{for } y > 0 \\
v(0, t) &= 0 && \text{for } t \ge 0 \\
v(\infty, t) &= 0 && \text{for } t \ge 0
\end{align*}
지배 방정식은 좀 많습니다. 일단 연속 방정식을 보면
\[ \cancel{\frac{\rd u}{\rd x}} + \frac{\rd v}{\rd y} = 0 \]
그런데 문제 가정에 의해 $v$는 $x$의 함수도 아니므로 $t$만의 함수여야 합니다. 또한 경계 조건에서 $v(0, t) = 0$이므로 $v=0$입니다. 따라서 $x$ 방향 비압축성 운동량 방정식은
\begin{gather}
\frac{\rd u}{\rd t} + u\cancel{\frac{\rd u}{\rd x}} + \cancel{v}\frac{\rd u}{\rd y} = \cancel{g_x} - \frac{1}{\rho}\cancel{\frac{\rd p}{\rd x}} + \nu\left( \cancel{\frac{\rd^2 u}{\rd x^2}} + \frac{\rd^2 u}{\rd y^2} \right) \nonumber \\
\therefore \ \frac{\rd u}{\rd t} = \nu\frac{\rd^2 u}{\rd y^2}
\end{gather}
위 문제와 정확히 똑같은 방정식이죠. 해는 다음과 같습니다.
\[ \frac{u}{U} = \mathrm{erfc}\left( \frac{y}{2\sqrt{\nu t}} \right) \]
$\nu$가 클수록 같은 시각 같은 위치에서의 $x$ 방향 속도가 $U$에 더 가깝습니다. 즉, 벽의 운동량이 유체로 더 빠르게 전달됩니다. 이러한 이유로 동점성 $\nu$를 운동량확산율이라 부르기도 합니다.