에너지 보존
열역학 제1법칙은 에너지 보존법칙으로서, 열에너지와 일을 받은 만큼 계의 내부 에너지가 변한다는 법칙입니다. 이걸 운동하는 유체에서 말하면, 열에너지와 일을 받은 만큼 내부 에너지와 운동 에너지의 합이 변합니다. 즉,
\begin{equation}
\frac{\uD}{\uD t}\left( E + \frac 1 2 m V^2 \right) = \dot Q + \dot W
\end{equation}
여기서 $E$는 유체 요소의 총 내부 에너지입니다. 따라서 레이놀즈 수송정리에 $\Phi=E+\frac12 mV^2$, $\phi=e+\frac12V^2$을 대입하면($e$는 단위 질량당 내부 에너지)
\begin{equation}
\frac{\uD}{\uD t}\left( E + \frac12mV^2 \right)_\mathrm{sys}
= \frac{\rd}{\rd t}\CV \rho\left(e+\frac{V^2}2\right)\ud\mathcal V
+ \CS \left(e+\frac{V^2}2\right)\rho\mathbf V\cdot\mathbf n \ud S
= \dot Q + \dot W
\end{equation}
항상 그랬듯이 발산 정리를 써서 부피적분으로 통일합니다.
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \CV \left\{ \ddt\left[ \rho \left(e + \frac{V^2}2\right) \right] + \nabla\cdot\left[ \rho\left(e+\frac{V^2}2\right)\mathbf V \right] \right\} \ud\mathcal V \\
&= \CV \left[ \rho\ddt\left(e+\frac{V^2}2\right) + \frac{\rd\rho}{\rd t}\left(e+\frac{V^2}2\right) + \left(e+\frac{V^2}2\right)\nabla\cdot(\rho\mathbf V) + \rho\mathbf V\cdot\nabla\left(e+\frac{V^2}2\right) \right] \ud\mathcal V \\
&= \CV \left\{ \rho\left(\ddt+\mathbf V\cdot\nabla\right)\left(e+\frac{V^2}2\right) + \left(e+\frac{V^2}2\right)\cancelto0{\left[\frac{\rd\rho}{\rd t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf V)\right]} \right\} \\
&= \CV \rho\frac{\uD}{\uD t}\left( e+\frac{V^2}2 \right) \ud\mathcal V \\
&= \dot Q + \dot W
\end{aligned}
\label{eq:energy-rtt}
\end{equation}
이제 $\dot Q$와 $\dot W$를 구해야 합니다.
유체가 받는 열에너지
유체가 받는 열에너지는 전도에 의한 열에너지 이동과 화학반응 등으로 인해 유체 내에서 직접 생성되는 열에너지로 나눌 수 있습니다. 먼저 전도로 전달되는 열에너지는 푸리에 법칙(Fourier’s law)으로 계산할 수 있습니다.
- 열에너지는 온도 기울기의 반대 방향으로 이동한다.
- 온도 기울기에 수직한 단위 면적을 통과해 단위 시간 동안 흐르는 열에너지(열유속, heat flux)는 온도 기울기에 비례한다. 이때 비례상수를 열전도율(thermal conductivity) $k$라고 한다.
이걸 수식으로 쓰면
\begin{equation}
\text{heat flux:} \qquad \mathbf q'' = -k\nabla T
\end{equation}
만약 단위 면적이 온도 기울기에 수직하지 않으면 단위 시간 동안 통과하는 열에너지는 열유속과 단위 면적의 단위법선벡터를 내적한 값입니다. 따라서 단위 시간 동안 검사 체적 내로 들어오는 열에너지는
\begin{equation}
\CS(-k\nabla T)\cdot(-\mathbf n)\ud S = \CV \nabla\cdot(k\nabla T)\ud\mathcal V
\end{equation}
$\mathbf n$ 대신 $-\mathbf n$을 쓴 건 나가는 에너지가 아니라 들어오는 에너지이므로 검사 체적 안을 향하는 단위법선벡터가 필요하기 때문입니다.
유체 요소 내부에서 생성되는 열에너지는 원인따라, 상황따라 다르니 여기서는 그냥 단위 시간 동안 단위 부피당 생성량을 $\dot q$라 하고 넘어가겠습니다. 최종적으로 검사 체적이 단위 시간 동안 얻는 열에너지는
\begin{equation}
\dot Q = \CV [\nabla\cdot(k\nabla T) + \dot q]\ud\mathcal V
\end{equation}
유체가 받는 힘
단위 시간당 유체가 받는 일, 즉 일률은 유명한 공식 $\mathbf F\cdot\mathbf V$를 써서 계산할 수 있습니다. 먼저 체적력에 의한 일률은
\begin{equation}
\dot W_\mathrm{body} = \CV \rho\mathbf g\cdot\mathbf V\ud\mathcal V
\end{equation}
표면력에 의한 일률은
\begin{aligned}
\dot W_\mathrm{surface} &= \CS \ud\mathbf F_\mathrm{surface}\cdot\mathbf V \\
&= \CS u_i\ud F_{\mathrm{surface}, i} \\
&= \CS u_i \tau_{ij}n_j \ud S \\
&= \CV \frac{\rd(u_i\tau_{ij})}{\rd x_j} \ud\mathcal V \\
&= \CV \left[ u_i\frac{\rd\tau_{ij}}{\rd x_j} + \frac{\rd u_i}{\rd x_j}\tau_{ij} \right] \ud\mathcal V
\end{aligned}
따라서 단위 시간 동안 유체가 받는 총 일은
\begin{equation}
\dot W = \CV \left[ \rho\mathbf g\cdot\mathbf V + u_i\frac{\rd\tau_{ij}}{\rd x_j} + \frac{\rd u_i}{\rd x_j}\tau_{ij} \right] \ud\mathcal V
\end{equation}
에너지 방정식
위 결과들을 식 \eqref{eq:energy-rtt}에 대입해서 정리하면
\begin{equation}
\rho\frac{\uD}{\uD t}\left(e+\frac{V^2}2\right) = \nabla\cdot(k\nabla T) + \rho\mathbf g\cdot\mathbf V + u_i\frac{\rd\tau_{ij}}{\rd x_j} + \frac{\rd u_i}{\rd x_j}\tau_{ij} + \dot q
\end{equation}
그런데 나비에-스토크스 방정식을 유도할 때
\begin{equation}
\rho\frac{\uD u_i}{\uD t} = \rho g_i + \frac{\rd\tau_{ij}}{\rd x_j}
\end{equation}
에서
\begin{equation}
\rho\frac{\uD}{\uD t}\left(\frac{V^2}2\right)
= \rho\frac{\uD}{\uD t}\left(\frac12 u_i u_i\right)
= \rho u_i\frac{\uD u_i}{\uD t}
= u_i \left( \rho g_i + \frac{\rd\tau_{ij}}{\rd x_j} \right)
= \rho\mathbf g\cdot\mathbf V + u_i\frac{\rd\tau_{ij}}{\rd x_j}
\end{equation}
이므로
\begin{equation}
\rho\frac{\uD e}{\uD t} = \nabla\cdot(k\nabla T) + \frac{\rd u_i}{\rd x_j}\tau_{ij} + \dot q
\end{equation}
뉴턴 유체의 응력을 대입해 위 식의 우변 마지막 항을 계산합시다.
\begin{aligned}
\frac{\rd u_i}{\rd x_j}\tau_{ij}
&= \frac{\rd u_i}{\rd x_j} \left[ (-p + \lambda\nabla\cdot\mathbf V)\delta_{ij} + \mu \left( \frac{\rd u_i}{\rd x_j} + \frac{\rd u_j}{\rd x_i} \right) \right] \\
&= -p\nabla\cdot\mathbf V + \lambda(\nabla\cdot\mathbf V)^2 + \mu\frac{\rd u_i}{\rd x_j} \left( \frac{\rd u_i}{\rd x_j} + \frac{\rd u_j}{\rd x_i} \right)
\end{aligned}
여기서 제일 오른쪽 두 항을 점성 소산(viscous dissipation)이라고 하며, 점성, 즉 마찰로 인해 발생하는 열에너지를 나타냅니다.
\begin{aligned}
\Phi &= \mu\left[ 2\left(\frac{\rd u}{\rd x}\right)^2+2\left(\frac{\rd v}{\rd y}\right)^2
+ 2\left(\frac{\rd w}{\rd z}\right)^2+\left(\frac{\rd u}{\rd y}+\frac{\rd v}{\rd x}\right)^2
+ \left(\frac{\rd v}{\rd z}+\frac{\rd w}{\rd y}\right)^2
+ \left(\frac{\rd w}{\rd x}+\frac{\rd u}{\rd z}\right)^2\right] \\
& \qquad\qquad +\lambda\left(\frac{\rd u}{\rd x}+\frac{\rd v}{\rd y}+\frac{\rd w}{\rd z}\right)^2 \\
&= \mu\left[\left(\frac{\rd u}{\rd y}+\frac{\rd v}{\rd x}\right)^2
+ \left(\frac{\rd v}{\rd z}+\frac{\rd w}{\rd y}\right)^2
+ \left(\frac{\rd w}{\rd x}+\frac{\rd u}{\rd z}\right)^2\right] \\
& \qquad\qquad +\frac{2}{3}\mu\left[\left(\frac{\rd u}{\rd x}-\frac{\rd v}{\rd y}\right)^2
+ \left(\frac{\rd v}{\rd y}-\frac{\rd w}{\rd z}\right)^2
+ \left(\frac{\rd w}{\rd z}-\frac{\rd u}{\rd x}\right)^2\right] \\
& \qquad\qquad +\left(\lambda+\frac{2}{3}\mu\right)\left(\frac{\rd u}{\rd x}+\frac{\rd v}{\rd y}+\frac{\rd w}{\rd z}\right)^2
\end{aligned}
점성은 물리적으로 당연히 양수고, 점성 소산도 양수여야 하니(마찰열이 음수일 순 없습니다) $\lambda + \frac23\mu \ge 0$이라는 계산이 나옵니다. 스토크스 가설은 가능한 $\lambda$의 최솟값인 셈이죠. 원래 식으로 넘어가서,
\begin{equation}
\rho\frac{\uD e}{\uD t} = \nabla\cdot(k\nabla T) - p\nabla\cdot\mathbf V + \Phi + \dot q
\end{equation}
여기까지만 해도 충분하지만 조금 더 하면 내부 에너지 대신 엔탈피로 나타낼 수 있습니다. 속도의 발산은 밀도의 물질 도함수로 쓸 수 있으므로
\begin{equation}
p\nabla\cdot\mathbf V
= p\left( -\frac1\rho\frac{\uD\rho}{\uD t} \right)
= \rho\frac{\uD}{\uD t}\left(\frac p\rho\right) - \frac{\uD p}{\uD t}
\end{equation}
대입하면
\begin{gather}
\rho\frac{\uD e}{\uD t} = \nabla\cdot(k\nabla T) - \rho\frac{\uD}{\uD t}\left(\frac p\rho\right) + \frac{\uD p}{\uD t} + \Phi + \dot q \\
\therefore \rho\frac{\uD}{\uD t}\left(e + \frac p\rho\right) = \rho\frac{\uD h}{\uD t} = \nabla\cdot(k\nabla T) + \frac{\uD p}{\uD t} + \Phi + \dot q
\end{gather}
여기서 $h=e+p/\rho$는 단위 질량당 엔탈피입니다.