베르누이 방정식
베르누이 방정식(Bernoulli’s equation)은 보존력이 작용하는 비압축성 비점성 유동에서 쓸 수 있는 강력한 방정식입니다. 이 방정식을 유도하려면 가정 하나가 더 필요한데, 어떤 가정을 쓰냐에 따라 방정식의 형태가 두 가지로 나뉩니다.
비회전 유동
먼저 벡터 항등식
\[ \V\cdot\nabla\V = \frac12\nabla(\V\cdot\V)-\V\times\cancel{(\nabla\times\V)} = \frac12\nabla\left(V^2\right) \]
를 비압축성 비점성 나비에-스토크스 방정식(오일러 방정식)에 대입하면
\[ \rho\left[\frac{\rd\V}{\rd t} + \frac12\nabla\left(V^2\right)\right] = \rho\mathbf{g} - \nabla p \]
속도 퍼텐셜을 대입해서 다시 써봅시다.
\[ \rho\left[\frac{\rd}{\rd t}\nabla\phi + \frac12\nabla\left(|\nabla\phi|^2\right)\right] = \rho\mathbf{g} - \nabla p \]
보존력은 퍼텐셜 에너지로 쓸 수 있죠. 단위 질량당 퍼텐셜 에너지를 $e_u$라고 하면 $\mathbf{g} = -\nabla e_u$이므로
\begin{gather}
\rho\left[\frac{\rd}{\rd t}\nabla\phi + \frac12\nabla\left(|\nabla\phi|^2\right)\right] = -\rho\nabla e_u - \nabla p \nonumber \\
\nabla\left( \rho\frac{\rd\phi}{\rd t} + p + \frac12\rho|\nabla\phi|^2 + \rho e_u \right) = 0 \nonumber \\
\therefore \rho\frac{\rd\phi}{\rd t} + p + \frac12\rho|\nabla\phi|^2 + \rho e_u = \text{const.} \\
\end{gather}
정상 유동
정상 오일러 방정식에 유선의 접선 벡터 $\ud\mathbf{s}$을 내적해봅시다.
\[ \rho(\V\cdot\nabla\V)\cdot\ud\mathbf{s} = \rho\mathbf{g}\cdot\ud\mathbf{s} - \nabla p\cdot\ud\mathbf{s} \]
앞과 똑같이 벡터 항등식과 퍼텐셜 에너지를 도입합니다.
\begin{gather}
\rho\left[\frac{1}{2}\nabla\left(V^2\right)-\V\times(\nabla\times\V)\right]\cdot\ud\mathbf{s} =-\rho\nabla e_u\cdot\ud\mathbf{s}-\nabla p\cdot\ud\mathbf{s} \\
\frac{1}{2}\rho\frac{\partial\left(V^2\right)}{\partial s} -\rho\V\times(\nabla\times\V)\cdot\ud\mathbf{s} =-\rho\frac{\partial e_u}{\partial s}-\frac{\partial p}{\partial s}
\end{gather}
그런데 속도 벡터는 유선에 항상 접하므로
\[ \V\times(\nabla\times\V)\cdot\ud\mathbf{s} = (\nabla\times\V)\cdot\cancel{(\ud\mathbf{s}\times\V)} = 0 \]
따라서
\begin{gather}
\frac{\rd}{\rd s}\left( p + \frac12\rho V^2 + \rho e_u \right) = 0 \nonumber \\
p + \frac12\rho V^2 + \rho e_u = \text{const.} \qquad \text{(along a stream line)}
\end{gather}
비회전 유동과는 달리 같은 유선을 따라서만 일정하다는 데 주의합시다. 두 점이 다른 유선 상에 있는 경우엔 값이 달라질 수 있습니다.
정압, 동압, 전압
정상 유동이고 체적력이 없다고 가정하면 $p+\frac12\rho V^2$이 유동 영역 전체에서 또는 유선을 따라서 일정하다는 결론이 나옵니다. 이 일정한 값을 전압(total pressure)이라 하고 흔히 $p_t$로 표기합니다. 좌변의 $p$는 우리에게 친숙한 열역학적 압력으로, 유체가 정지해 있을 때 압력이라 해서 정압(static pressure)이라고도 부릅니다. 그리고 나머지 $\frac12\rho V^2$은 동압(dynamic pressure)이라 하고 보통 $q$로 표기합니다.
빠르게 달리는 자동차 안에서 창문을 열고 밖으로 손을 내밀어보면(물론 위험합니다!) 아주 강한 압력을 느낄 수 있습니다. 평소엔 손으로 대기압이 느껴지지 않는데 이 압력은 뭘까요? 손 입장에서 생각해보면 손에 부딪히기 전 빠르게 운동하는 공기는 큰 동압을 가지고 있지만 손에 부딪히면서 속력이 느려지게 됩니다. 비압축성 비점성 비회전을 가정하면(충분히 저속에서는 꽤 잘맞습니다) 정압과 동압의 합, 즉 전압은 항상 같으므로 동압이 줄어든만큼 정압이 증가합니다. 이 증가량이 우리가 손으로 느끼는 압력이죠.
에너지 관점에서 설명하자면 공기가 가진 운동에너지가 열에너지로 변환되었고, 이에 따라 압력이 증가한 것이라고도 할 수 있습니다. 실제로 동압의 식을 보면 운동에너지 식과 똑같습니다. 대충 에너지 보존 법칙의 유체 버전이라 할 수도 있겠네요. 물론 중간에 적분이 들어가서 이런 형태가 된거지 어디까지나 베르누이 방정식의 본질은 운동량 보존 법칙입니다.