유체 운동을 보는 두 가지 관점
다른 고전역학 분야가 불연속적으로 떨어진 물체 여러 개의 운동을 다루는 반면에, 유체역학은 연속체 역학의 일부로서 다루는 영역 내의 모든 점에 연속적으로 유체가 분포합니다. 이 때문에 유체 역학은 전통적으로 일반적인 동역학이 사용하는 것과는 다른 관점을 사용합니다.
예를 들어 수도꼭지에서 물이 흘러 나오고 있다고 해봅시다. 수도꼭지에 공급되는 물의 양 등의 모든 물리량들이 시간에 따라 완벽하게 일정하다면, 이때 수도꼭지 아래로 떨어지는 물줄기를 본다면 시간이 지나도 변화가 없겠죠. 즉, 물줄기 내 특정 점을 잡으면 이 점을 지나는 유체 요소들은 항상 같은 물리량을 지니게 됩니다. 하지만 물줄기 모양이 변화가 없다고 물이 물줄기 모양대로 모여서 멈춘 건 아니죠. 특정 유체 요소를 잡으면 이 요소는 위에서 아래로 운동하고, 시간에 따라 물리량도 변하게 됩니다. 결과적으로 같은 유동이라도 두 관점에서 보는 모습은 아주 다릅니다.
아주 이상적인 경우 물줄기가 멈춘 것처럼 보일 수 있습니다. 하지만 멈춘듯이 보이는 건 오일러 관점에서의 얘기고, 라그랑주 관점에서 보면 물은 잘 움직이고 있습니다.
한편 유동 속의 어떤 (고정된) 점에서든 물리량이 시간에 따라 변하지 않으면 이 유동을 정상 유동이라고 합니다.
물질 도함수
위 내용을 종합하면 오일러 관점과 라그랑주 관점에서 물리량의 시간 변화율은 다르다는 결론이 나옵니다. 정상 유동이면 오일러 관점에서 시간 변화율은 항상 0이지만 라그랑주 관점에선 0이 아니죠. 그럼 이 둘의 관계는 어떻게 될까요?
공간 상에 고정된 점 $\mathbf{x}$에서 어떤 물리량을 측정했더니 $\phi(\mathbf{x}, t)$가 나왔다고 해봅시다. (앞으로 특별한 언급이 없는 한 모든 함수 표현은 오일러 관점을 기준으로 합니다.) 그럼 $\partial\phi/\partial t$는 오일러 관점에서 $\phi$의 시간 변화율이 됩니다. 라그랑주 관점에서 $\phi$의 시간 변화율은 시각 $t$에 점 $\mathbf{x}$를 통과한 유체 요소가 어디로 이동했는지도 고려해야 합니다. 매우 짧은 시간 $\Delta t$ 동안 유체 요소가 $\mathbf{x}$에서 $\mathbf{x}+\Delta\mathbf{x}$로 이동했으면 라그랑주 관점에서 $\phi$의 시간 변화율 $\mathrm{D}\phi/\mathrm{D} t$는 극한을 취하여
인데 여기서 $\phi(\mathbf{x}+\Delta\mathbf{x}, t+\Delta t)$를 테일러 전개해봅시다.
식 \eqref{eq:lagrange1}을 식 \eqref{eq:taylor}에 대입하면
식 \eqref{eq:taylor}에서 생략된 항은 미소 변화의 이차항이고, 따라서 식 \eqref{eq:lagrange2}에서는 $\Delta t$로 나눈 뒤 극한을 취하므로 이 항들은 전부 0이 됩니다.
라그랑주 관점에서의 시간 변화율 $\mathrm{D}/\mathrm{D} t$는 흔히 물질 도함수(material derivative) 또는 실체적 도함수(substantial derivative)라 부릅니다. 식 \eqref{eq:lagrange2}에서 우변 첫 번째 항은 오일러 관점에서 본 시간 변화율로, 공간적 이동 없이 오롯이 시간에 의한 변화만 측정한다고 하여 국소 도함수(local derivative)라고도 합니다. 우변 두 번째 항은 역으로 공간 이동에 의한 변화만 측정한다고 하여 대류 도함수(convective derivative)라고 합니다.
레이놀즈 수송 정리
못을 생산하는 공장이 있다고 합시다. 아침에 출근하니 못 100개들이 상자가 100개 있었습니다. 하루 동안 공장에서 못을 생산해서 원래 있던 상자 100개에 못 10개씩을 더 넣었고, 100개들이 상자 5개를 다른 창고에서 가져왔습니다. 퇴근할 때 공장에 남은 못은 총 몇 개일까요? 단순 산수로 계산해보면,
- 처음에 있던 못이 10000개
- 생산한 못이 1000개
- 다른 창고에서 가져온 못 500개
이므로 11500개입니다. 하루 동안 공장의 못 보유량이 1500개 증가한 것이죠. 이건 오일러 관점입니다. 공장이라는 영역은 공간에 고정된 영역이니까요. 반면 라그랑주 관점에선 처음 있던 못 100개들이 상자 100개에 주목합니다. 이 상자들이 가진 못은 처음에 10000개였는데, 공장에서 못을 생산하면서 못의 양이 11000개가 되었습니다. 즉, 라그랑주 관점에서는 못의 보유량이 1000개 증가한 셈입니다. 그리고 오일러 관점과 라그랑주 관점의 차이인 못 500개는 공장에 들어온 못에 해당하죠. 즉, 오일러 관점에서 본 못 보유량의 변화는 라그랑주 관점에서 본 못 보유량의 변화와 공장에 들어온 못의 총량으로 나눌 수 있습니다.
이걸 수식으로 써봅시다. 먼저 공장에 해당하는, 공간 상에 고정된 영역을 잡읍시다. 유체역학에서는 이를 검사체적(control volume, CV)이라 합니다. 처음에 검사 체적이 포함하는 유체 집합이 가지는 어떤 물리량 $\Phi$의 총합을 $\Phi_{sys}$라고 합시다. 위에서는 $\Phi$가 못의 개수에 해당하고, $\Phi_{sys}$는 처음에 못 10000개였다가 퇴근할 때에는 11000개가 됩니다. 그렇다면 라그랑주 관점에서 $\Phi$의 변화는 $\Phi_{sys}$의 시간 변화율입니다.
오일러 관점에서 검사체적 내 물리량의 총 변화는 검사채적 내 물리량의 총량을 적분해서 구한 값을 시간에 대해 미분하면 됩니다.
여기서 $\rho$는 밀도, $\phi$는 단위 질량당 $\Phi$이고 이를 곱한 값 $\rho\phi$는 단위 부피당 $\Phi$가 됩니다. 이걸 공간에 대해 적분하고 시간에 대해 다시 미분했으니 오일러 관점에서의 변화량이 되죠.
검사체적으로 들어오는 물리량의 총합은 면적분으로 구할 수 있습니다. 검사체적의 아주 작은 표면 요소를 생각하면 이 표면 요소로 단위 시간 동안 들어오는 유량은 $-\mathbf{V}\cdot\mathbf{n}\mathrm{d} S$입니다. ($\mathbf{V}$는 속도, $\mathbf{n}$은 검사체적 바깥을 향하는 표면 요소의 법선 벡터, $\mathrm{d} S$는 표면 요소의 넓이입니다.) 따라서
여기서 CS는 검사체적의 표면(control surface)입니다. 식 \eqref{eq:rtt-euler}는 식 \eqref{eq:rtt-lagrange}와 식 \eqref{eq:rtt-income}의 합이므로
이것이 바로 레이놀즈 수송 정리(Reynolds transport theorem, RTT)입니다.