경로선
유체 요소를 하나 골랐을 때 시간에 따라 요소가 흘러간 궤적을 그 유체 요소의 경로선(pathline) 또는 유적선이라고 합니다. 속도장 $\V(\x,t)$ 내에서 유체 요소가 시각 $t_0$일 때 위치 $\x_0$에서 출발했다고 하면 시간에 따른 요소의 궤적 $\x_p$는 아래 방정식을 따릅니다.
\begin{align}
\frac{d\mathbf x_p}{dt}(t) &= \mathbf V(\mathbf x_p(t), t) \label{eq:pathline1} \\
\mathbf x_p(t_0) &= \mathbf x_0 \nonumber
\end{align}
다음 속도장에 대해 각각 $t=0$과 $t=1$에 원점을 지나는 두 유체 요소의
경로선을 구하여라.
\[ \V(\x, t) = (3z,2t,-y) \]
정의에 의해
\[
\left( \frac{\ud x_p}{\ud t}, \frac{\ud y_p}{\ud t}, \frac{\ud z_p}{\ud t} \right)
= (3z_p, 2t, -y_p)
\]
이를 풀면
\begin{aligned}
x_p &= -\frac14 t^4 - \frac32 C_1 t^2 + 3C_2 t + C_3 \\
y_p &= t^2 + C_1 \\
z_p &= -\frac13 t^3 - C_1 t + C_2
\end{aligned}
$t=0$일 때 원점을 지나는 유체 요소의 경로선을 구하려면 $\x_p(0)=0$을
대입하여 계수를 결정하면 됩니다.
\[ \x_p(t) = \left( -\frac14 t^4, \ \ t^2, \ -\frac13 t^3 \right) \]
같은 방법으로 $t=1$일 때 원점을 지나는 유체 요소의 경로선은
\[ \x_p(t) = \left( -\frac14 t^4 + \frac32 t^2 - 2t + \frac34, \ \ t^2 - 1, \ -\frac13 t^3 + t - \frac23 \right) \]
유선
유선(streamline)은 곡선 위 모든 점에서 속도 벡터가 곡선에 접하는 곡선입니다. 유선의 방정식을 매개변수 $s$로 나타내어 $\x_s(s)$라 하면 유선 위 한 점에서 접선 방향은 $\ud\x_s / \ud s$, 속도 벡터는 $\V(\x_s)$이고 둘이 나란하므로 외적이 0입니다. 즉,
\begin{aligned}
&\frac{\ud\x_s}{\ud s} \times \V(\x_s) \\
&= \left[
w(\x_s)\frac{\ud y_s}{\ud s} - v(\x_s)\frac{\ud z_s}{\ud s}
\right] \mathbf i
+ \left[
u(\x_s)\frac{\ud z_s}{\ud s} - w(\x_s)\frac{\ud x_s}{\ud s}
\right] \mathbf j
+ \left[
v(\x_s)\frac{\ud x_s}{\ud s} - u(\x_s)\frac{\ud y_s}{\ud s}
\right] \mathbf k \\
&= \mathbf 0
\end{aligned}
또는
\begin{equation}
\frac{\ud y_s}{\ud x_s} = \frac{v(\x_s)}{u(\x_s)} \qquad
\frac{\ud z_s}{\ud y_s} = \frac{w(\x_s)}{v(\x_s)} \qquad
\frac{\ud x_s}{\ud z_s} = \frac{u(\x_s)}{w(\x_s)}
\label{eq:streamline}
\end{equation}
예제 1의 속도장에서 시각이 $t=2$일 때 원점을 통과하는 유선을 구하여라.
$t=2$일 때 속도장 $\V = (3z,4,-y)$를 식 \eqref{eq:streamline}에 대입하면
\begin{aligned}
\frac{\ud y_s}{\ud x_s} &= \frac{4}{3z_s} \\
\frac{\ud z_s}{\ud y_s} &= -\frac{y_s}{4} \\
\frac{\ud x_s}{\ud z_s} &= -\frac{3z_s}{y_s}
\end{aligned}
위 식의 원점을 지나는 해는 다음과 같습니다.
\[ x_s = -\frac{y_s^3}{16} \qquad z_s = -\frac{y_s^2}{8} \]
유맥선
고정된 어떤 점 $\x_0$를 통과했거나 통과할 예정인 유체 요소들이 이루는 선을 $\x_0$를 통과하는 유맥선(streakline)이라고 합니다. 공기 중에 향 연기를 피우면 연기가 이루는 궤적이 바로 유맥선입니다.
예제 1의 속도장에서 시각 $t=0$일 때 원점을 지나는 유맥선을 구하여라.
예제 1의 풀이로부터 시각 $t_0$에 원점을 지나는 유체 요소의 경로선을 구할
수 있습니다.
\begin{aligned}
x_p &= -\frac14 t^4 + \frac32 t_0^2t^2 - 2 t_0^3t + \frac34 t_0^4 \\
y_p &= t^2 - t_0^2 \\
z_p &= -\frac13 t^3 + t_0^2t - \frac23t_0^3
\end{aligned}
여기에 $t=0$을 대입하면 이 시각의 유맥선의 방정식을 $t_0$의 함수로 구할 수
있습니다.
\begin{aligned}
x_k &= \frac34 t_0^4 \\
y_k &= -t_0^2 \\
z_k &= -\frac23 t_0^3
\end{aligned}
정상 유동의 경우
정상 유동은 속도장이 시간에 따라 바뀌지 않으므로 다음이 성립합니다.
- 같은 점을 통과하는 유체 요소들은 통과 시각에 관계 없이 항상 경로선이 같습니다.
- 유맥선이 시간에 따라 바뀌지 않습니다.
- 유맥선의 정의에 의해, 유맥선과 경로선이 일치합니다.
그리고 정상 유동에 대해 식 \eqref{eq:pathline1}을 생각하면 좌변은 매개변수 $t$로 표현되는 경로선 $\x_p$의 접선 방향이고, 우변은 그 점에서 속도 벡터의 방향입니다. 따라서 경로선의 접선과 속도 벡터는 항상 나란하고, 이 말은 경로선이 곧 유선이라는 뜻입니다. 결론적으로 정상 유동에서는 경로선, 유선, 유맥선이 시간에 따라 변하지 않으며 모두 일치합니다.