열확산율과 동점성의 물리적 의미

열확산율

다음과 같은 1차원 열전달 문제를 생각해봅시다.

영역 $y>0$에 비압축성 유체가 가득 차 있고, $y=0$은 벽으로 막혀 있다. 처음에는 벽과 유체 모두 온도가 $T_1$이었지만, 시각 $t=0$에 갑자기 벽의 온도가 $T_2$로 바뀌었다. 이때 온도의 변화를 구하여라. 단, 압력은 위치와 시각에 관계없이 항상 일정하며 유체는 이동하지 않는다.

직관적으로는 시간이 지날수록 벽에 가까운 영역부터 온도 $T_2$에 점점 가까워질 겁니다. 먼저 경계 조건은 다음과 같습니다.

\begin{align*} T(y, 0) &= T_1 && \text{for } y > 0 \\ T(0, t) &= T_2 && \text{for } t \ge 0 \\ T(\infty, t) &= T_1 && \text{for } t \ge 0 \end{align*}

마지막 경계 조건은 벽에서 무한히 떨어진 곳은 시간이 아무리 지나더라도 온도가 $T_1$으로 유지될 것이라는 의미입니다. 한편 지배 방정식은 앞에서 다룬 열 방정식입니다.

\[ \frac{\rd T}{\rd t} = \alpha\frac{\rd^2 T}{\rd y^2} \]

변수 분리법을 사용하면 풀 수 있는 꼴의 2변수 함수이지만, 더 간단하게는 버킹엄 파이 정리를 사용해 1변수 함수로 바꿔 풀 수 있습니다. 온도 변화를 아래와 같이 정리해봅시다.

\[ T - T_1 = f(y, t, \alpha, T_2 - T_1) \]

버킹엄 파이 정리를 쓰면

\[ \Theta = f(\eta) \]

여기서

\begin{equation*} \Theta = \frac{T-T_1}{T_2-T_1} \qquad \eta = \frac{y}{\sqrt{\alpha t}} \end{equation*}

이를 열 방정식에 대입하여 방정식을 무차원화합니다.

\[ \frac{\ud^2\Theta}{\ud\eta^2} + \frac{\eta}{2}\frac{\ud\Theta}{\ud\eta} = 0 \label{eq:nondim} \]

경계조건도 무차원화해야죠.

\begin{align*} T(y, 0) &= T_1 &\Rightarrow&& \Theta(\infty) &= 0 \\ T(0, t) &= T_2 &\Rightarrow&& \Theta(0) &= 1 \\ T(\infty, t) &= T_1 &\Rightarrow&& \Theta(\infty) &= 0 \end{align*}

세 개였던 경계조건이 무차원화 과정에서 두 개로 줄어들어 식 \eqref{eq:nondim}의 해를 결정하는 데 부족하거나 과하지 않습니다. 무차원화가 잘 된 것이라고 볼 수 있겠습니다. 이제 본격적으로 해를 구해보면

\begin{align*} &\frac{\ud^2\Theta}{\ud\eta^2} + \frac{\eta}{2}\frac{\ud\Theta}{\ud\eta} = 0 &&\Rightarrow&& \frac{\ud\Theta'}{\ud\eta} = -\frac{\eta}{2}\Theta' && \\ &&&\Rightarrow&& \frac{\ud\Theta'}{\Theta'} = -\frac{\eta}{2}\ud\eta && \\ &&&\Rightarrow&& \ln\Theta' = -\frac{\eta^2}{4} + C && \\ &&&\Rightarrow&& \Theta' = A e^{-(\eta/2)^2} && (A=e^C) \\ &&&\Rightarrow&& \int_1^\Theta \ud\Theta = A \int_0^\eta e^{-(\eta/2)^2} \ud\eta && (\because f(0) = 1) \\ &&&\Rightarrow&& \Theta = A\sqrt{\pi} \ \mathrm{erf}\left(\frac{\eta}{2}\right) + 1 && \\ &&&\therefore&& \Theta = 1 - \mathrm{erf}\left(\frac{\eta}{2}\right) = \mathrm{erfc}\left(\frac{\eta}{2}\right) && (\because f(\infty) = 0) \end{align*}

보기 편하게 원래대로 $T$, $y$와 $t$의 식으로 바꿔줍니다.

\[ \frac{T-T_1}{T_2-T_1} = \mathrm{erfc}\left( \frac{y}{2\sqrt{\alpha t}} \right) \]

이로부터 알 수 있는 사실은 다음과 같습니다.

동점성

동점성에 대해서도 열확산율과 동일한 해석이 가능합니다. 흔히 스토크스의 첫 번째 문제(Stokes' first problem)라는 아래 2차원 유동 문제를 봅시다.

영역 $y>0$에 비압축성 유체가 가득 차 있고, $y=0$은 벽으로 막혀 있다. 처음에는 벽과 유체 모두 정지해있었지만, 시각 $t=0$에 갑자기 벽이 $+x$ 방향으로 속력 $U$로 움직이기 시작하였다. 이때 속도장을 구하여라. 단, 체적력은 작용하지 않으며 $x$ 방향으로 속도와 압력의 변화는 없다.

먼저 경계 조건은 위 문제와 마찬가지로

\begin{align*} u(y, 0) &= 0 && \text{for } y > 0 \\ u(0, t) &= U && \text{for } t \ge 0 \\ u(\infty, t) &= 0 && \text{for } t \ge 0 \\ v(y, 0) &= 0 && \text{for } y > 0 \\ v(0, t) &= 0 && \text{for } t \ge 0 \\ v(\infty, t) &= 0 && \text{for } t \ge 0 \end{align*}

지배 방정식은 좀 많습니다. 일단 연속 방정식을 보면

\[ \cancel{\frac{\rd u}{\rd x}} + \frac{\rd v}{\rd y} = 0 \]

그런데 문제 가정에 의해 $v$는 $x$의 함수도 아니므로 $t$만의 함수여야 합니다. 또한 경계 조건에서 $v(0, t) = 0$이므로 $v=0$입니다. 따라서 $x$ 방향 비압축성 운동량 방정식은

\begin{gather} \frac{\rd u}{\rd t} + u\cancel{\frac{\rd u}{\rd x}} + \cancel{v}\frac{\rd u}{\rd y} = \cancel{g_x} - \frac{1}{\rho}\cancel{\frac{\rd p}{\rd x}} + \nu\left( \cancel{\frac{\rd^2 u}{\rd x^2}} + \frac{\rd^2 u}{\rd y^2} \right) \nonumber \\ \therefore \ \frac{\rd u}{\rd t} = \nu\frac{\rd^2 u}{\rd y^2} \end{gather}

위 문제와 정확히 똑같은 방정식이죠. 해는 다음과 같습니다.

\[ \frac{u}{U} = \mathrm{erfc}\left( \frac{y}{2\sqrt{\nu t}} \right) \]

$\nu$가 클수록 같은 시각 같은 위치에서의 $x$ 방향 속도가 $U$에 더 가깝습니다. 즉, 벽의 운동량이 유체로 더 빠르게 전달됩니다. 이러한 이유로 동점성 $\nu$를 운동량확산율이라 부르기도 합니다.