경로선, 유선, 유맥선

경로선

유체 요소를 하나 골랐을 때 시간에 따라 요소가 흘러간 궤적을 그 유체 요소의 경로선(pathline) 또는 유적선이라고 합니다. 속도장 $\V(\x,t)$ 내에서 유체 요소가 시각 $t_0$일 때 위치 $\x_0$에서 출발했다고 하면 시간에 따른 요소의 궤적 $\x_p$는 아래 방정식을 따릅니다.

\begin{align} \frac{d\mathbf x_p}{dt}(t) &= \mathbf V(\mathbf x_p(t), t) \label{eq:pathline1} \\ \mathbf x_p(t_0) &= \mathbf x_0 \end{align}
다음 속도장에 대해 각각 $t=0$과 $t=1$에 원점을 지나는 두 유체 요소의 경로선을 구하여라. \[ \V(\x, t) = (3z,2t,-y) \]

정의에 의해

\[ \left( \frac{\ud x_p}{\ud t}, \frac{\ud y_p}{\ud t}, \frac{\ud z_p}{\ud t} \right) = (3z_p, 2t, -y_p) \]

이를 풀면

\begin{aligned} x_p &= -\frac14 t^4 - \frac32 C_1 t^2 + 3C_2 t + C_3 \\ y_p &= t^2 + C_1 \\ z_p &= -\frac13 t^3 - C_1 t + C_2 \end{aligned}

$t=0$일 때 원점을 지나는 유체 요소의 경로선을 구하려면 $\x_p(0)=0$을 대입하여 계수를 결정하면 됩니다.

\[ \x_p(t) = \left( -\frac14 t^4, \ \ t^2, \ -\frac13 t^3 \right) \]

같은 방법으로 $t=1$일 때 원점을 지나는 유체 요소의 경로선은

\[ \x_p(t) = \left( -\frac14 t^4 + \frac32 t^2 - 2t + \frac34, \ \ t^2 - 1, \ -\frac13 t^3 + t - \frac23 \right) \]

유선

유선(streamline)은 곡선 위 모든 점에서 속도 벡터가 곡선에 접하는 곡선입니다. 유선의 방정식을 매개변수 $s$로 나타내어 $\x_s(s)$라 하면 유선 위 한 점에서 접선 방향은 $\ud\x_s / \ud s$, 속도 벡터는 $\V(\x_s)$이고 둘이 나란하므로 외적이 0입니다. 즉,

\begin{aligned} &\frac{\ud\x_s}{\ud s} \times \V(\x_s) \\ &= \left[ w(\x_s)\frac{\ud y_s}{\ud s} - v(\x_s)\frac{\ud z_s}{\ud s} \right] \mathbf i + \left[ u(\x_s)\frac{\ud z_s}{\ud s} - w(\x_s)\frac{\ud x_s}{\ud s} \right] \mathbf j + \left[ v(\x_s)\frac{\ud x_s}{\ud s} - u(\x_s)\frac{\ud y_s}{\ud s} \right] \mathbf k \\ &= \mathbf 0 \end{aligned}

또는

\[ \frac{\ud y_s}{\ud x_s} = \frac{v(\x_s)}{u(\x_s)} \qquad \frac{\ud z_s}{\ud y_s} = \frac{w(\x_s)}{v(\x_s)} \qquad \frac{\ud x_s}{\ud z_s} = \frac{u(\x_s)}{w(\x_s)} \label{eq:streamline} \]
예제 1의 속도장에서 시각이 $t=2$일 때 원점을 통과하는 유선을 구하여라.

$t=2$일 때 속도장 $\V = (3z,4,-y)$를 식 \eqref{eq:streamline}에 대입하면

\begin{aligned} \frac{\ud y_s}{\ud x_s} &= \frac{4}{3z_s} \\ \frac{\ud z_s}{\ud y_s} &= -\frac{y_s}{4} \\ \frac{\ud x_s}{\ud z_s} &= -\frac{3z_s}{y_s} \end{aligned}

위 식의 원점을 지나는 해는 다음과 같습니다.

\[ x_s = -\frac{y_s^3}{16} \qquad z_s = -\frac{y_s^2}{8} \]

유맥선

고정된 어떤 점 $\x_0$를 통과했거나 통과할 예정인 유체 요소들이 이루는 선을 $\x_0$를 통과하는 유맥선(streakline)이라고 합니다. 공기 중에 향 연기를 피우면 연기가 이루는 궤적이 바로 유맥선입니다.

예제 1의 속도장에서 시각 $t=0$일 때 원점을 지나는 유맥선을 구하여라.

예제 1의 풀이로부터 시각 $t_0$에 원점을 지나는 유체 요소의 경로선을 구할 수 있습니다.

\begin{aligned} x_p &= -\frac14 t^4 + \frac32 t_0^2t^2 - 2 t_0^3t + \frac34 t_0^4 \\ y_p &= t^2 - t_0^2 \\ z_p &= -\frac13 t^3 + t_0^2t - \frac23t_0^3 \end{aligned}

여기에 $t=0$을 대입하면 이 시각의 유맥선의 방정식을 $t_0$의 함수로 구할 수 있습니다.

\begin{aligned} x_k &= \frac34 t_0^4 \\ y_k &= -t_0^2 \\ z_k &= -\frac23 t_0^3 \end{aligned}

정상 유동의 경우

정상 유동에서는 속도장이 시간에 따라 바뀌지 않으므로 다음이 성립합니다.

  1. 같은 점을 통과하는 유체 요소들은 통과 시각에 관계 없이 항상 경로선이 같습니다.
  2. 유맥선이 시간에 따라 바뀌지 않습니다.
  3. 유맥선의 정의에 의해, 유맥선과 경로선이 일치합니다.

그리고 정상 유동에 대해 식 \eqref{eq:pathline1}을 생각하면 좌변은 매개변수 $t$로 표현되는 경로선 $\x_p$의 접선 방향이고, 우변은 그 점에서 속도 벡터의 방향입니다. 따라서 경로선의 접선과 속도 벡터는 항상 나란하고, 이 말은 경로선이 곧 유선이라는 뜻입니다. 결론적으로 정상 유동에서는 경로선, 유선, 유맥선이 시간에 따라 변하지 않으며 모두 일치합니다.