에너지 보존
열역학 제1법칙은 에너지 보존법칙으로서, 열에너지와 일을 받은 만큼 계의 내부
에너지가 변한다는 법칙입니다. 이걸 운동하는 유체에서 말하면, 열에너지와 일을
받은 만큼 내부 에너지와 운동 에너지의 합이 변합니다. 즉,
\[ \frac{\uD}{\uD t}\left( E + \frac 1 2 m V^2 \right) = \dot Q + \dot W \]
여기서 $E$는 유체 요소의 총 내부 에너지입니다. 따라서 레이놀즈 수송정리에
$\Phi=E+\frac12 mV^2$, $\phi=e+\frac12V^2$을 대입하면($e$는 단위 질량당 내부
에너지)
\[
\frac{\uD}{\uD t}\left( E + \frac12mV^2 \right)_\mathrm{sys}
= \frac{\rd}{\rd t}\CV \rho\left(e+\frac{V^2}2\right)\ud\mathcal V
+ \CS \left(e+\frac{V^2}2\right)\rho\mathbf V\cdot\mathbf n \ud S
= \dot Q + \dot W
\]
항상 그랬듯이 발산 정리를 써서 부피적분으로 통일합니다.
\[\begin{aligned}
& \CV \left\{ \ddt\left[ \rho \left(e + \frac{V^2}2\right) \right] + \nabla\cdot\left[ \rho\left(e+\frac{V^2}2\right)\mathbf V \right] \right\} \ud\mathcal V \\
&= \CV \left[ \rho\ddt\left(e+\frac{V^2}2\right) + \frac{\rd\rho}{\rd t}\left(e+\frac{V^2}2\right) + \left(e+\frac{V^2}2\right)\nabla\cdot(\rho\mathbf V) + \rho\mathbf V\cdot\nabla\left(e+\frac{V^2}2\right) \right] \ud\mathcal V \\
&= \CV \left\{ \rho\left(\ddt+\mathbf V\cdot\nabla\right)\left(e+\frac{V^2}2\right) + \left(e+\frac{V^2}2\right)\cancelto0{\left[\frac{\rd\rho}{\rd t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf V)\right]} \right\} \\
&= \CV \rho\frac{\uD}{\uD t}\left( e+\frac{V^2}2 \right) \ud\mathcal V \\
&= \dot Q + \dot W
\end{aligned}\label{eq:energy-rtt}\]
이제 $\dot Q$와 $\dot W$를 구해야 합니다.
유체가 받는 열에너지
유체가 받는 열에너지는 전도에 의한 열에너지 이동과 화학반응 등으로 인해 유체
내에서 직접 생성되는 열에너지로 나눌 수 있습니다. 먼저 전도로 전달되는
열에너지는 푸리에 법칙(Fourier's law)으로 계산할 수 있습니다.
- 열에너지는 온도 기울기의 반대 방향으로 이동한다.
-
온도 기울기에 수직한 단위 면적을 통과해 단위 시간 동안 흐르는
열에너지(열유속, heat flux)는 온도 기울기에 비례한다. 이때 비례상수를
열전도율(thermal conductivity) $k$라고 한다.
이걸 수식으로 쓰면
\[ \text{heat flux:} \qquad \mathbf q'' = -k\nabla T \]
만약 단위 면적이 온도 기울기에 수직하지 않으면 단위 시간 동안 통과하는 열에너지는
열유속과 단위 면적의 단위법선벡터를 내적한 값입니다. 따라서 단위 시간 동안
검사 체적 내로 들어오는 열에너지는
\[ \CS(-k\nabla T)\cdot(-\mathbf n)\ud S = \CV \nabla\cdot(k\nabla T)\ud\mathcal V \]
$\mathbf n$ 대신 $-\mathbf n$을 쓴 건 나가는 에너지가 아니라 들어오는
에너지이므로 검사 체적 안을 향하는 단위법선벡터가 필요하기 때문입니다.
유체 요소 내부에서 생성되는 열에너지는 원인따라, 상황따라 다르니 여기서는 그냥
단위 시간 동안 단위 부피당 생성량을 $\dot q$라 하고 넘어가겠습니다. 최종적으로
검사 체적이 단위 시간 동안 얻는 열에너지는
\[ \dot Q = \CV [\nabla\cdot(k\nabla T) + \dot q]\ud\mathcal V \]
유체가 받는 일
단위 시간당 유체가 받는 일, 즉 일률은 유명한 공식 $\mathbf F\cdot\mathbf V$를
써서 계산할 수 있습니다. 먼저 체적력에 의한 일률은
\[ \dot W_\mathrm{body} = \CV \rho\mathbf g\cdot\mathbf V\ud\mathcal V \]
표면력에 의한 일률은
\begin{aligned}
\dot W_\mathrm{surface} &= \CS \ud\mathbf F_\mathrm{surface}\cdot\mathbf V \\
&= \CS u_i\ud F_{\mathrm{surface}, i} \\
&= \CS u_i \tau_{ij}n_j \ud S \\
&= \CV \frac{\rd(u_i\tau_{ij})}{\rd x_j} \ud\mathcal V \\
&= \CV \left[ u_i\frac{\rd\tau_{ij}}{\rd x_j} + \frac{\rd u_i}{\rd x_j}\tau_{ij} \right] \ud\mathcal V
\end{aligned}
따라서 단위 시간 동안 유체가 받는 총 일은
\[ \dot W = \CV \left[ \rho\mathbf g\cdot\mathbf V + u_i\frac{\rd\tau_{ij}}{\rd x_j} + \frac{\rd u_i}{\rd x_j}\tau_{ij} \right] \ud\mathcal V \]
에너지 방정식
위 결과들을 식 \eqref{eq:energy-rtt}에 대입해서 정리하면
\[ \rho\frac{\uD}{\uD t}\left(e+\frac{V^2}2\right) = \nabla\cdot(k\nabla T) + \rho\mathbf g\cdot\mathbf V + u_i\frac{\rd\tau_{ij}}{\rd x_j} + \frac{\rd u_i}{\rd x_j}\tau_{ij} + \dot q \]
그런데 나비에-스토크스 방정식을 유도할 때
\[ \rho\frac{\uD u_i}{\uD t} = \rho g_i + \frac{\rd\tau_{ij}}{\rd x_j} \]
에서
\[
\rho\frac{\uD}{\uD t}\left(\frac{V^2}2\right)
= \rho\frac{\uD}{\uD t}\left(\frac12 u_i u_i\right)
= \rho u_i\frac{\uD u_i}{\uD t}
= u_i \left( \rho g_i + \frac{\rd\tau_{ij}}{\rd x_j} \right)
= \rho\mathbf g\cdot\mathbf V + u_i\frac{\rd\tau_{ij}}{\rd x_j}
\]
이므로
\[ \rho\frac{\uD e}{\uD t} = \nabla\cdot(k\nabla T) + \frac{\rd u_i}{\rd x_j}\tau_{ij} + \dot q \]
뉴턴 유체의 응력을 대입해 위 식의 우변 마지막 항을 계산합시다.
\begin{aligned}
\frac{\rd u_i}{\rd x_j}\tau_{ij}
&= \frac{\rd u_i}{\rd x_j} \left[ (-p + \lambda\nabla\cdot\mathbf V)\delta_{ij} + \mu \left( \frac{\rd u_i}{\rd x_j} + \frac{\rd u_j}{\rd x_i} \right) \right] \\
&= -p\nabla\cdot\mathbf V + \lambda(\nabla\cdot\mathbf V)^2 + \mu\frac{\rd u_i}{\rd x_j} \left( \frac{\rd u_i}{\rd x_j} + \frac{\rd u_j}{\rd x_i} \right)
\end{aligned}
여기서 제일 오른쪽 두 항을 점성 소산(viscous dissipation)이라고 하며, 점성,
즉 마찰로 인해 발생하는 열에너지를 나타냅니다.
\begin{aligned}
\Phi &= \mu\left[ 2\left(\frac{\rd u}{\rd x}\right)^2+2\left(\frac{\rd v}{\rd y}\right)^2
+ 2\left(\frac{\rd w}{\rd z}\right)^2+\left(\frac{\rd u}{\rd y}+\frac{\rd v}{\rd x}\right)^2
+ \left(\frac{\rd v}{\rd z}+\frac{\rd w}{\rd y}\right)^2
+ \left(\frac{\rd w}{\rd x}+\frac{\rd u}{\rd z}\right)^2\right] \\
& \qquad\qquad +\lambda\left(\frac{\rd u}{\rd x}+\frac{\rd v}{\rd y}+\frac{\rd w}{\rd z}\right)^2 \\
&= \mu\left[\left(\frac{\rd u}{\rd y}+\frac{\rd v}{\rd x}\right)^2
+ \left(\frac{\rd v}{\rd z}+\frac{\rd w}{\rd y}\right)^2
+ \left(\frac{\rd w}{\rd x}+\frac{\rd u}{\rd z}\right)^2\right] \\
& \qquad\qquad +\frac{2}{3}\mu\left[\left(\frac{\rd u}{\rd x}-\frac{\rd v}{\rd y}\right)^2
+ \left(\frac{\rd v}{\rd y}-\frac{\rd w}{\rd z}\right)^2
+ \left(\frac{\rd w}{\rd z}-\frac{\rd u}{\rd x}\right)^2\right] \\
& \qquad\qquad +\left(\lambda+\frac{2}{3}\mu\right)\left(\frac{\rd u}{\rd x}+\frac{\rd v}{\rd y}+\frac{\rd w}{\rd z}\right)^2
\end{aligned}
점성은 물리적으로 당연히 양수고, 점성 소산도 양수여야 하니(마찰열이 음수일 순
없습니다) $\lambda + \frac23\mu \ge 0$이라는 계산이 나옵니다. 스토크스 가설은
가능한 $\lambda$의 최솟값인 셈이죠. 원래 식으로 넘어가서,
\[ \rho\frac{\uD e}{\uD t} = \nabla\cdot(k\nabla T) - p\nabla\cdot\mathbf V + \Phi + \dot q \]
여기까지만 해도 충분하지만 조금 더 하면 내부 에너지 대신 엔탈피로 나타낼 수
있습니다. 속도의 발산은 밀도의 물질 도함수로 쓸 수 있으므로
\[
p\nabla\cdot\mathbf V
= p\left( -\frac1\rho\frac{\uD\rho}{\uD t} \right)
= \rho\frac{\uD}{\uD t}\left(\frac p\rho\right) - \frac{\uD p}{\uD t}
\]
대입하면
\begin{gather}
\rho\frac{\uD e}{\uD t} = \nabla\cdot(k\nabla T) - \rho\frac{\uD}{\uD t}\left(\frac p\rho\right) + \frac{\uD p}{\uD t} + \Phi + \dot q \\
\therefore \rho\frac{\uD}{\uD t}\left(e + \frac p\rho\right) = \rho\frac{\uD h}{\uD t} = \nabla\cdot(k\nabla T) + \frac{\uD p}{\uD t} + \Phi + \dot q
\end{gather}
여기서 $h=e+p/\rho$는 단위 질량당 엔탈피입니다.