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니벤의 정리

특수각의 삼각비

삼각비(와 그 확장인 삼각함수)를 처음 배우게 되면 특수각이라는 이름으로 자주 쓰는 0˚, 30, 45˚, 60˚, 90˚와 좀 더 나가면 15˚, 75˚, 22.5˚ 등의 각에서 삼각비의 값을 계산해보게 됩니다. 여기에다 특수각이란 이름까지 붙여가면서 흔히들 쓰는 이유야 당연하겠지만 육십분법으로 나타냈을 때 정수이거나, 90˚를 2의 거듭제곱으로 나눈 값이라서 사람 입장에서 편하기 때문이죠. 호도법을 써서 좀 일반적으로 말하자면 $\pi$의 유리수배라서 많이 쓴다고 말할 수 있겠습니다. 그런데 특수각의 삼각비를 살펴보면 대부분 근호가 하나씩은 포함돼있고, 유리수인 경우는 어째 사인과 코사인의 경우에 0, 1/2, 1 밖에 없는 거 같습니다. 과연 그럴까요?

니벤의 정리

먼저 다음 보조정리를 먼저 증명하겠습니다.

양의 정수 $n$에 대해 \[ F_n(2\cos\theta) = 2\cos n\theta \]를 만족하는 $n$차 정수 계수 일계수최고차항의 계수가 1인 다항식을 일계수 다항식(monic polynomial)이라고 합니다. 다항식 $F_n(x)$가 존재한다.
수학적 귀납법을 사용합니다. $n=1$과 $n=2$일 때
\[ F_1(x) = x, \qquad F_2(x) = x^2 - 1 \]

로 존재합니다. $n\ge2$일 땐 삼각함수의 덧셈정리에 의해

\[ \cos n\theta + \cos(n-2)\theta = 2\cos(n-1)\theta\cos\theta \]

이므로 양변에 2를 곱하고 $x=2\cos\theta$, $F_{n-2}(x)=2\cos(n-2)\theta$, $F_{n-1}(x)=2\cos(n-1)\theta$를 대입하면

\[ 2\cos n\theta = xF_{n-1}(x)-F_{n-2}(x) \]

가 되어 $2\cos n\theta$ 또한 $x$에 대한 $n$차 정수 계수 일계수 다항식이 됩니다.

이제 본격적으로 특수각의 삼각비에 관련된 니벤의 정리(Niven's theorem)을 증명해봅시다.

$0\le a\le\frac 1 2$인 유리수 $a$에 대해 $\sin\pi a$가 유리수인 경우는 \begin{align*} a &= 0 & &\Rightarrow & \sin0 &= 0 \\ a &= \frac 1 6 & &\Rightarrow & \sin\frac \pi 6 &= \frac 1 2 \\ a &= \frac 1 2 & &\Rightarrow & \sin\frac \pi 2 &= 1 \end{align*} 뿐이다. 마찬가지로 $\cos\pi a$가 유리수인 경우는 $a=0, \frac 1 3, \frac 1 2$ 뿐이다.
앞의 보조정리를 이용해 코사인에 대해 먼저 증명하고 사인에 대해 증명합니다. 0 이상 $\frac 1 2$ 이하인 유리수 $a$에 대해 $\cos\pi a$가 유리수라고 가정합시다. 유리수이기 때문에 적당한 양의 정수 $n$과 $k$가 있어 $a = \frac{2k}n$로 쓸 수 있습니다. 또한 $c=2\cos\pi a$라 하면 보조정리에 따라 \[ F_n(c) = F_n(2\cos\pi a) = F_n\left( 2\cos\frac{2\pi k}n \right) = 2\cos 2\pi k = 2 \] 따라서 $c$는 $n$차 정수 계수 일계수 다항방정식 $F_n(x) - 2 = 0$의 유리근이 됩니다. 그런데 정수 계수 다항방정식의 모든 유리근은 상수항의 약수를 최고차항의 약수로 나눈 꼴이고, 이 방정식은 일계수 다항식이어서 모든 유리근은 분모가 1 또는 -1, 즉 정수근입니다. $c$의 가능한 범위는 0 이상 2 이하이므로 $c$는 0, 1, 2 중 하나일 수밖에 없고, 각 경우에 $a$는 $0, \frac 1 3, \frac 1 2$입니다. 한편 \[ \sin\pi a = \cos\left(\frac\pi2 - \pi a\right) = \cos\left(\frac12 - a\right)\pi \] 이므로 $\sin\pi a$가 유리수인 경우는 $\frac12-a=0, \frac13, \frac12$인 경우뿐이고 각 경우에 $a$는 $0, \frac16, \frac12$입니다.

응용

몇 가지 따름정리를 더 보고 갑시다.

$0\le a<\frac12$인 유리수 $a$에 대해 $\tan\pi a$가 유리수인 경우는 \begin{align*} a &= 0 & &\Rightarrow & \tan0 &= 0 \\ a &= \frac14 & &\Rightarrow & \tan\frac\pi4 &= 1 \end{align*} 뿐이다.
$\tan\pi a$가 유리수이면 \[ \cos2\pi a = \frac{1-\tan^2\pi a}{1+\tan^2\pi a} \] 도 유리수입니다. 그런데 니벤의 정리에 의해 $0\le a<\frac12$ 범위에서 $\cos2\pi a$가 유리수인 경우는 $a=0,\frac16,\frac14,\frac13$뿐이고, 이 중 $\tan\pi a$가 유리수인 걸 찾아보면 $a=0,\frac14$입니다.
$0\le a\le\frac12$인 유리수 $a$에 대해 $\sqrt2\sin\pi a$가 유리수인 경우는 \begin{align*} a &= 0 & &\Rightarrow & \sqrt2\sin0 &= 0 \\ a &= \frac14 & &\Rightarrow & \sqrt2\sin\frac\pi4 &= 1 \end{align*} 뿐이다.
정리 3과 완전히 동일합니다.