다각형의 넓이와 무게중심
다각형의 넓이를 구하는 방법은 여러 가지가 있지만, 여기서는 이중적분으로
구해보겠습니다. 다각형 $D$의 넓이 $A$는 1의 이중적분입니다.
\[ A = \iint_D 1 \ud x \ud y \]
그린 정리
\[ \oint_{\rd D} (P\ud x + Q\ud y)
= \iint_D \left( \frac{\rd Q}{\rd x} - \frac{\rd P}{\rd y} \right) \ud x \ud y \]
에 $P=-\frac{1}{2}y$와 $Q=\frac{1}{2}x$를 대입하면
\[ \oint_{\rd D} \frac{1}{2} (-y\ud x + x\ud y)
= \iint_D 1\ud x\ud y = A \label{eq:greened} \]
다각형의 각 꼭짓점이 반시계 방향으로 $P_1=(x_1, y_1)$부터 $P_n=(x_n, y_n)$까지라
합시다. 그리고 $P_i$와 $P_{i+1}$을 잇는 변은 $S_i$라 합시다. 편의상
$P_{n+1}=P_1$입니다. $S_i$ 위의 한 점은 매개변수 $t$를 이용해 다음과 같이
나타낼 수 있습니다.
\begin{align}
x &= (1-t)x_i + tx_{i+1} \\
y &= (1-t)y_i + ty_{i+1}
\end{align}
이를 식 \eqref{eq:greened}에 대입하면 흔히 우리가 신발끈 공식(showlace
formula)이라고 부르는 익히 알려진 식이 됩니다.
\begin{aligned}
A &= \oint_{\rd D} \frac{1}{2} (-y\ud x + x\ud y) \\
&= \sum_{i=1}^n \int_{S_i} \frac{1}{2} (-y\ud x + x\ud y) \\
&= \sum_{i=1}^n \int_0^1 \frac{1}{2} \left( -y \frac{\ud x}{\ud t} \ud t + x \frac{\ud y}{\ud t} \ud t \right) \\
&= \sum_{i=1}^n \int_0^1 \frac{1}{2} (x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i) \ud t \\
&= \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n (x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i)
\end{aligned}
한편 $D$의 무게중심 $\mathbf C=(C_x, C_y)$는 다음과 같이 정의합니다.
\begin{align}
C_x &= \frac{1}{A} \iint_D x \ud x \ud y \\
C_y &= \frac{1}{A} \iint_D y \ud x \ud y
\end{align}
그린 정리에 $P=0$, $Q=\frac{1}{2} x^2$을 대입하면
\[ \iint_D x \ud x \ud y = \oint_{\rd D} \frac{1}{2}x^2 \ud y \]
넓이를 구할 때와 마찬가지로 각 변에 대한 매개변수 방정식을 씁니다.
\begin{aligned}
\oint_{\rd D} \frac{1}{2} x^2 \ud y
&= \sum_{i=1}^n \int_0^1 \frac{1}{2} x^2 \frac{\ud y}{\ud t} \ud t \\
&= \sum_{i=1}^n \int_0^1 \frac{1}{2} [(1-t)x_i+tx_{i+1}]^2(y_{i+1}-y_i) \ud t \\
&= \sum_{i=1}^n \frac{1}{6} (x_i^2 + x_ix_{i+1} + x_{i+1}^2) (y_{i+1}-y_i) \\
&= \sum_{i=1}^n \frac{1}{6} (x_i+x_{i+1})(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)
+ \cancel{\sum_{i=1}^n \frac{1}{6} (x_{i+1}^2y_{i+1}-x_i^2y_i)} \\
&= \sum_{i=1}^n \frac{1}{6} (x_i+x_{i+1})(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i)
\end{aligned}
\[ \therefore C_x = \frac{1}{6A} \sum_{i=1}^n (x_i+x_{i+1})(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i) \]
같은 방법으로 $P=-\frac{1}{2} y^2$, $Q=0$을 대입하면 $C_y$도 구할 수 있습니다.
\[ C_y = \frac{1}{6A} \sum_{i=1}^n (y_i+y_{i+1})(x_iy_{i+1}-x_{i+1}y_i) \]
다면체의 부피와 무게중심
다면체 $D$의 부피 $V$는 1의 부피적분입니다.
\[ V = \iiint_D 1 \ud x \ud y \ud z \]
3차원이니까 이번엔 발산 정리를 써봅시다. 1은 $\frac{1}{3}(x,y,z)$의 발산으로
쓸 수 있으므로
\[
V = \iiint_D \frac{1}{3} \nabla \cdot (x, y, z) \ud x \ud y \ud z
= \frac{1}{3} \oiint_{\kern-0.5em \rd D} (x, y, z) \cdot \mathbf n \ud S
\]
다각형 둘레를 변으로 나눈 것과 같이 다면체 표면은 면으로 나눌 수 있습니다. 각
면을 $F_i$, 그 넓이와 단위법선벡터를 $A_i$와 $\mathbf{n}_i$라 합시다.
\[ V = \frac{1}{3} \sum_{i=1}^n \iint_{F_i} (x, y, z)\cdot\mathbf{n}_i \ud S \]
면은 당연히 평면이므로 면 위에서 $(x, y, z)\cdot\mathbf{n}$은 항상 일정합니다.
그러니 이 값의 적분은 $F_i$ 위의 임의의 점 $\mathbf{x}_i$에서 구한 값과 면적
$A_i$를 곱한 것입니다.
\[ V = \frac 1 3 \sum_{i=1}^n\mathbf{x}_i \cdot \mathbf{n}_i A_i \]
$\mathbf{x}_i$는 보통 $F_i$의 한 꼭짓점으로 둡니다.
무게중심 $\mathbf C=(C_x, C_y, C_z)$도 비슷하게 구할 수 있습니다.
\[ \begin{aligned}
C_x &= \frac 1 V \iiint_D x \ud x \ud y \ud z \\
&= \frac 1 V \iiint_D \nabla \cdot \left( \frac{1}{2} x^2, 0, 0 \right) \ud x \ud y \ud z \\
&= \frac 1 V \oiint_{\kern-0.5em \rd D} \left( \frac{1}{2} x^2, 0, 0 \right) \cdot \mathbf n \ud S \\
&= \frac{1}{2V} \sum_{i=1}^n \iint_{F_i} x^2 n_{ix} \ud S
\end{aligned}
\label{eq:polyhedron_cx} \]
$\mathbf{n}_i$의 $x$ 성분인 $n_{ix}$는 면 위에서 일정하니까 $x^2$만 잘
적분해주면 됩니다. 다면체의 한 면을 잘 쪼개서 항상 삼각형으로 만들 수 있으므로
일단 모든 면이 삼각형인 다면체를 고려해봅시다. $F_i$의 세 꼭짓점을 $\mathbf{u}_i$,
$\mathbf{v}_i$, $\mathbf{w}_i$라 하면 $F_i$ 위의 한 점은 다음과 같이
매개변수로 나타낼 수 있습니다.
\[
\mathbf{x} = (1-t)\mathbf{u}_i + (1-s)t\mathbf{v}_i + st\mathbf{w}_i,
\qquad 0 \le s \le 1, \ 0 \le t \le 1
\]
따라서 $x^2$의 적분은
\begin{aligned}
\iint_{F_i} x^2 \ud S
&= \int_0^1 \int_0^1 x^2 \left\|
\frac{\rd\mathbf x}{\rd s} \times \frac{\rd\mathbf x}{\rd t}
\right\| \ud s \ud t \\
&= \int_0^1 \int_0^1 2t [(1-t)u_{ix} + (1-s)tv_{ix} + stw_{ix}]^2 A_i \ud s \ud t \\
&= \frac{1}{12} \left[ (u_{ix}+v_{ix})^2 + (v_{ix}+w_{ix})^2 + (w_{ix}+u_{ix})^2 \right] A_i
\end{aligned}
식 \eqref{eq:polyhedron_cx}에 대입하면 $C_x$를 얻습니다.
\[
C_x = \frac{1}{24V} \sum_{i=1}^n \left[
(u_{ix}+v_{ix})^2 + (v_{ix}+w_{ix})^2 + (w_{ix}+u_{ix})^2
\right] A_i n_{ix}
\]
마찬가지 방법으로
\begin{align}
C_y &= \frac{1}{24V} \sum_{i=1}^n \left[
(u_{iy}+v_{iy})^2 + (v_{iy}+w_{iy})^2 + (w_{iy}+u_{iy})^2
\right] A_i n_{iy} \\
C_z &= \frac{1}{24V} \sum_{i=1}^n \left[
(u_{iz}+v_{iz})^2 + (v_{iz}+w_{iz})^2 + (w_{iz}+u_{iz})^2
\right] A_i n_{iz}
\end{align}
예제
네 점
\begin{align*}
\mathbf{v}_1 &= (0, 0, 0) \\
\mathbf{v}_2 &= (1, 1, 0) \\
\mathbf{v}_3 &= (1, 0, 1) \\
\mathbf{v}_4 &= (0, 1, 1)
\end{align*}
로 정의되는 정사면체의 부피와 무게중심을 구해봅시다. 먼저 각 면의 정보는 다음과
같습니다.
\begin{align*}
F_1 &: (\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3), & A_1 &= \sqrt 3 / 2, & \mathbf{n}_1 &= (1, -1, -1)/\sqrt 3 \\
F_2 &: (\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_4, \mathbf{v}_2), & A_2 &= \sqrt 3 / 2, & \mathbf{n}_2 &= (-1, 1, -1)/\sqrt 3 \\
F_3 &: (\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4), & A_3 &= \sqrt 3 / 2, & \mathbf{n}_3 &= (-1, -1, 1)/\sqrt 3 \\
F_4 &: (\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_4, \mathbf{v}_3), & A_4 &= \sqrt 3 / 2, & \mathbf{n}_4 &= (1, 1, 1)/\sqrt 3
\end{align*}
따라서 부피는
\[
V = \frac{1}{3} (
\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{n}_1 A_1
+ \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{n}_2 A_2
+ \mathbf{v}_1\cdot\mathbf{n}_3 A_3
+ \mathbf{v}_2\cdot\mathbf{n}_4 A_4
) = \frac{1}{3}
\]
무게중심의 $x$ 좌표는
\begin{aligned}
C_x &= \frac{1}{24V} \big\{ \left[(v_{1x}+v_{2x})^2 + (v_{2x}+v_{3x})^2 + (v_{3x}+v_{1x})^2\right] A_1 n_{1x} \\
& \qquad\qquad\ + \left[(v_{1x}+v_{4x})^2 + (v_{4x}+v_{2x})^2 + (v_{2x}+v_{1x})^2\right] A_2 n_{2x} \\
& \qquad\qquad\ + \left[(v_{1x}+v_{3x})^2 + (v_{3x}+v_{4x})^2 + (v_{4x}+v_{1x})^2\right] A_3 n_{3x} \\
& \qquad\qquad\ + \left[(v_{2x}+v_{4x})^2 + (v_{4x}+v_{3x})^2 + (v_{3x}+v_{2x})^2\right] A_4 n_{4x} \big\} \\
&= \frac{1}{2}
\end{aligned}
마찬가지로 $y$와 $z$ 좌표는
\begin{align}
C_y &= \frac 1 2 \\
C_z &= \frac 1 2
\end{align}