[공기역학] 순환(Circulation)과 켈빈의 순환 정리(Kelvin’s Circulation Theorem)

순환

공간 상에 놓인 폐곡선 $C$에 대해 순환(circulation)을 다음과 같이 정의합니다.

\[ \Gamma = -\int\limits_C \mathbf V\cdot\mathrm d\mathbf l \]

앞에 붙는 음의 부호는 책에 따라 안 붙기도 하는데, 공기역학에서는 붙이는 쪽이 훨씬 편합니다. 폐곡선 $C$를 경계로 하는 곡면 $D$를 생각하면 스토크스 정리에 의해 순환을 아래와 같은 방식으로도 쓸 수 있습니다.

\[ \Gamma = -\iint\limits_D (\nabla\times\mathbf V)\cdot\mathbf n\mathrm dS \]

켈빈의 순환 정리

폐곡선 $C$가 유체 입자와 같이 흘러간다고 하면 $C$ 상에서 순환은 시간에 따라 어떻게 바뀔까요? 순환의 물질 도함수를 계산해봅시다.

\[ \frac{\mathrm D\Gamma}{\mathrm Dt} = -\frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}\int\limits_C \mathbf V\cdot\mathrm d\mathbf l = -\int\limits_C \frac{\mathrm D\mathbf V}{\mathrm Dt}\cdot\mathrm d\mathbf l-\int\limits_C \mathbf V\cdot\frac{\mathrm {Dd}\mathbf l}{\mathrm Dt} \]

$C$가 시간에 따라 달라지므로 $\mathrm d\mathbf l$도 시간의 함수임에 유의합시다. 속도의 물질 도함수는 나비에-스토크스 방정식으로 나타낼 수 있습니다.

\[ \frac{\mathrm D\mathbf V}{\mathrm Dt} = \mathbf g-\frac{1}{\rho}\nabla p+\frac{\mu}{\rho}\nabla^2\mathbf V+\frac{\mu+\lambda}{\rho}\nabla(\nabla\cdot\mathbf V) \]

그리고 $\mathrm{Dd}\mathbf l/\mathrm Dt$는 아래 그림에서

\[ \mathrm d\mathbf l+\frac{\mathrm {Dd}\mathbf l}{\mathrm Dt}\Delta t
= \left\{\mathbf x+\mathrm d\mathbf l+[\mathbf V(\mathbf x)+\mathrm d\mathbf l\cdot\nabla\mathbf V]\Delta t\right\}-\left\{\mathbf x+\mathbf V(\mathbf x)\Delta t\right\}
=\mathrm d\mathbf l+\mathrm d\mathbf l\cdot\nabla\mathbf V\Delta t \]

\[ \therefore\frac{\mathrm{Dd}\mathbf l}{\mathrm Dt} = \mathrm d\mathbf l\cdot\nabla\mathbf V \]

따라서 순환의 물질 도함수는

\[ \frac{\mathrm D\Gamma}{\mathrm Dt}
=-\int\limits_C \left[\mathbf g-\frac{1}{\rho}\nabla p+\frac{\mu}{\rho}\nabla^2\mathbf V+\frac{\mu+\lambda}{\rho}\nabla(\nabla\cdot\mathbf V)\right]\cdot\mathrm d\mathbf l
-\int\limits_C \mathbf V\cdot(\mathrm d\mathbf l\cdot\nabla\mathbf V) \]

이제 세 가지 가정을 도입해봅시다.

  1. 비점성 유동
  2. 밀도가 압력만의 함수
  3. 체적력이 모두 보존력

여기서 두 번째 조건을 만족하는 유체를 순압 유체(barotropic fluid)라고 합니다. 공기는 일반적으로 순압 유체가 아니지만(밀도가 온도와 압력의 함수) 비압축성을 가정할 수 있다면 순압 유체로 볼 수 있습니다. 위 식에서 점성항을 모두 없애면

\[ \frac{\mathrm D\Gamma}{\mathrm Dt}
=-\int\limits_C \mathbf g\cdot\mathrm d\mathbf l
+\int\limits_C \frac{1}{\rho}\nabla p\cdot\mathrm d\mathbf l
-\int\limits_C \mathbf V\cdot(\mathrm d\mathbf l\cdot\nabla\mathbf V) \]

폐곡선을 따라 보존력이 한 일은 0이므로 첫번째 항은 0입니다. 스토크스 정리를 써서 두 번째 항을 면적분으로 바꾸고 세 번째 항을 약간 정리하면

\[ \begin{align}
\frac{\mathrm D\Gamma}{\mathrm Dt}
&=\iint\limits_D \nabla\times\left(\frac{1}{\rho}\nabla p\right)\cdot\mathrm d\mathbf l
-\frac{1}{2}\underbrace{\int\limits_C \nabla\left(V^2\right)\cdot\mathrm d\mathbf l}_{=0} \\
&=\iint\limits_D \biggl(\frac{1}{\rho}\underbrace{\nabla\times\nabla p}_{=0}
+\nabla\frac{1}{\rho}\times\nabla p\biggr)\cdot\mathrm d\mathbf l \\
&=-\iint\limits_D \frac{1}{\rho^2}(\nabla\rho\times\nabla p)\cdot\mathrm d\mathbf l
\end{align} \]

$\nabla\rho$는 등밀도면의 법선 벡터이고 $\nabla p$는 등압면의 법선 벡터인데 밀도가 압력만의 함수이므로 등밀도면은 등압면과 일치하고 $\nabla\rho$와 $\nabla p$는 나란합니다. 따라서,

\[ \frac{\mathrm D\Gamma}{\mathrm Dt} = 0 \]

즉, 보존력만이 작용할 때 순압 비점성 유동에서는 순환이 보존됩니다. 이를 켈빈의 순환 정리(Kelvin’s circulation theorem)라 합니다.