[공기역학] 경로선(Pathline), 유선(Streamline), 유맥선(Streakline)

경로선

유체 요소를 하나 골랐을 때 시간에 따라 요소가 흘러간 궤적을 그 유체 요소의 경로선(pathline) 또는 유적선이라고 합니다. 속도장 $\mathbf V(\mathbf x, t)$ 내에서 유체 요소가 시각 $t_0$일 때 위치 $\mathbf x_0$에서 출발했다고 하면 시간에 따른 요소의 궤적 $\mathbf x_p$는 아래 방정식을 따릅니다.

\[ \begin{align}
\frac{d\mathbf x_p}{dt}(t) &= \mathbf V(\mathbf x_p(t), t) \\
\mathbf x_p(t_0) &= \mathbf x_0
\end{align} \]

예제 1) 다음 속도장에 대해 각각 $t=0$과 $t=1$에 원점을 지나는 두 유체 요소의 경로선을 구하여라. \[\mathbf V=(3z, 2t, -y)\]

풀이) 정의에 의해

\[ \left(\frac{dx_p}{dt}, \frac{dy_p}{dt}, \frac{dz_p}{dt}\right) = \left(3z_p, 2t, -y_p\right) \]

먼저 $y_p$를 구할 수 있습니다.

\[ \frac{dy_p}{dt}=2t \quad \Rightarrow \quad y_p = t^2 + C_1 \]

그 다음 $z_p$를 구할 수 있고,

\[ \frac{dz_p}{dt} = -y_p = -t^2-C_1 \quad \Rightarrow \quad z_p = -\frac{1}{3}t^3-C_1t+C_2 \]

마지막으로 $x_p$는

\[ \frac{dx_p}{dt} = 3z_p = -t^3-3C_1t+3C_2 \quad \Rightarrow \quad x_p = -\frac{1}{4}t^4-\frac{3}{2}C_1t^2+3C_2t+C_3 \]

$t=0$일 때 원점을 지나는 유체 요소는 $x_p(0)=y_p(0)=z_p(0)=0$을 대입하면 $C_1=C_2=C_3=0$이 되어

\[ \begin{align}
x_p &= -\frac{1}{4}t^4 \\
y_p &= t^2 \\
z_p &= -\frac{1}{3}t^3
\end{align} \]

이고, $t=1$일 때 원점을 지나는 유체 요소는 $x_p(1)=y_p(1)=z_p(1)=0$을 대입하면 $C_1=-1$, $C_2=-\frac{2}{3}$, $C_3=\frac{3}{4}$가 되어

\[ \begin{align}
x_p &= -\frac{1}{4}t^4+\frac{3}{2}t^2-2t+\frac{3}{4} \\
y_p &= t^2-1 \\
z_p &= -\frac{1}{3}t^3+t-\frac{2}{3}
\end{align} \]

가 됩니다. ■

여기서 알 수 있는 사실은, 같은 점을 통과하더라도 통과 시각이 다르면 경로선이 다르다는 것입니다. 시간이 지나면 속도장이 바뀌니 당연한 얘기죠.

유선

유선(streamline)은 곡선 위 모든 점에서 속도 벡터가 곡선에 접하는 곡선입니다. 유선 $\mathbf x_s(s)$에 대해($s$는 곡선의 매개변수) 유선 위의 한 점에서 접선 방향은 $\frac{d\mathbf x_s}{ds}(s)$, 속도 벡터는 $\mathbf V(\mathbf x_s(s))$이고 둘이 나란해야 하므로 외적이 0입니다(여기서 유선은 어떤 특정 순간만을 보기 때문에 $t$를 고정된 상수로 보면 되고, 그래서 $\mathbf V$에 변수로 $\mathbf x_s(s)$만 넣었습니다). 즉,

\[ \begin{align}
&\frac{d\mathbf x_s}{ds} \times \mathbf V(\mathbf x_s) \\
=& \left[w(\mathbf x_s)\frac{dy_s}{ds}-v(\mathbf x_s) \frac{dz_s}{ds}\right]\mathbf i
+ \left[u(\mathbf x_s) \frac{dz_s}{ds}-w(\mathbf x_s) \frac{dx_s}{ds}\right]\mathbf j
+ \left[v(\mathbf x_s) \frac{dx_s}{ds}-u(\mathbf x_s) \frac{dy_s}{ds}\right]\mathbf k \\
=& \mathbf 0
\end{align} \]

또는

\[ \frac{dy_s}{dx_s} = \frac{v (\mathbf x_s) }{u (\mathbf x_s) } \qquad
\frac{dz_s}{dy_s} = \frac{w (\mathbf x_s) }{v (\mathbf x_s) } \qquad
\frac{dx_s}{dz_s} = \frac{u (\mathbf x_s) }{w (\mathbf x_s) } \]

어떤 시각 $t$에서 $u$, $v$, $w$를 $x$, $y$, $z$의 함수로 나타낼 수 있으면 위 방정식을 풀어서 유선 $\mathbf x_s(s)$를 구할 수 있습니다.

예제 2) 예제 1의 속도장에서 시각 $t=2$일 때 원점을 통과하는 유선을 구하여라.

풀이) $u=3z, v=2t=4, w=-y$를 대입하면

\[ \frac{dz_s}{dy_s} = -\frac{y_s}{4} \quad \Rightarrow \quad z_s = -\frac{y_s^2}{8} + C_1 \]

\[ \frac{dy_s}{dx_s} = \frac{4}{3z_s} = \frac{16}{-3y_s^2+24C_1} \quad \Rightarrow \quad
x_s = -\frac{y_s^3}{16}+\frac{3}{2}C_1y_s+C_2 \]

원점을 지나야 하므로 $C_1=C_2=0$이고, 따라서

\[ x_s = -\frac{y_s^3}{16} \qquad z_s = -\frac{y_s^2}{8} \]

또는 매개변수 곡선으로 나타내서

\[ \begin{align}
x_s(s) &= -4s^3 \\
y_s(s) &= 4s \\
z_s(s) &= -2s^2
\end{align} \]

입니다. ■

유맥선

어떤 점 $\mathbf x_0$를 통과했거나 통과할 예정인 유체 요소들이 이루는 선을 $\mathbf x_0$를 통과하는 유맥선(streakline)이라고 합니다. 공기 중 향을 피웠을 때 향 연기가 이루는 곡선이 바로 유맥선입니다. 유맥선은 정의상 경로선에서 바로 구할 수 있습니다. 예제로 살펴봅시다.

예제 3) 예제 1의 속도장에서 시각 $t=0$일 때 원점을 지나는 유맥선을 구하여라.

풀이) 예제 1에서 시각 $t_0$에 원점을 지나는 유체 요소의 경로선을 구할 수 있습니다.

\[ \begin{align}
x_p &= -\frac{1}{4}t^4+\frac{3}{2}t_0^2t^2-2t_0^3t+\frac{3}{4}t_0^4 \\
y_p &= t^2 – t_0^2 \\
z_p &= -\frac{1}{3}t^3+t_0^2t-\frac{2}{3}t_0^3
\end{align} \]

$t=0$일 때 이 유체 요소의 위치는 $t_0$의 함수로 나타내어집니다.

\[ \begin{align}
x_k &= \frac{3}{4}t_0^4 \\
y_k &= -t_0^2 \\
z_k &= -\frac{2}{3}t_0^3
\end{align} \]

이게 바로 $t=0$일 때 원점을 지나는 유맥선 $\mathbf x_k$의 방정식입니다. ■

정상 유동에서 경로선, 유선, 유맥선

정상 유동에서는 속도장이 시간에 따라 바뀌지 않으므로 다음이 성립합니다.

  1. 같은 점을 통과하는 유체 요소들은 통과 시각에 관계 없이 항상 경로선이 같습니다.
  2. 유맥선이 시간에 따라 바뀌지 않습니다.
  3. 유맥선의 정의에 의해, 유맥선과 경로선이 일치합니다.

그리고 $\mathbf V$가 시간의 함수가 아니기 때문에, 경로선의 식을 아래와 같이 쓸 수 있습니다.

\[ \frac{d\mathbf x_p}{dt}(t) = \mathbf V(\mathbf x_p(t)) \]

여기서 좌변은 $\mathbf x_p(t)$의 미분이므로 경로선 위의 한 점에서 접선 방향이고, 우변은 그 점에서 속도 벡터입니다. 그런데 이 둘이 같다는 것은, 경로선 위의 점에서는 항상 속도 벡터와 접선 방향이 나란하다는 것이고, 결국 경로선이 곧 유선임을 의미합니다. 따라서,

“정상 유동에서는 경로선, 유선, 유맥선이 시간에 따라 변하지 않으며 모두 일치한다.”

가 됩니다.