[공기역학] 유선 함수(Stream Function)와 속도 퍼텐셜(Velocity Potential)

유선 함수

비압축성 유동에서 연속 방정식은

\[ \nabla\cdot\mathbf V = 0 \]

유동이 2차원 평면 유동이라 하고 평면 상에 고정된 폐곡선 $C$와 그 내부 영역 $D$를 생각합시다. 연속 방정식을 $D$ 위에서 적분하면 발산 정리에 의해

\[ \iint\limits_D (\nabla\cdot\mathbf V) \mathrm dS = \int\limits_C \mathbf V\cdot\mathbf n\mathrm dl = 0 \]

여기서 $\mathbf n$은 $C$의 바깥쪽을 향하는 단위 법선 벡터입니다. 이 식은 $C$를 통과하는 (단위 깊이당) 알짜 부피 유량(volume flow rate; volume flux)이 항상 0이라는 걸 의미합니다. 상식적으로 유동이 비압축성이니 $C$ 내부로 들어간 만큼 외부로 나와야겠죠.

이제 두 점 $P_0$, $P$와 둘 사이를 연결하는 곡선 $\mathcal A$, $\mathcal B$를 생각해봅시다. $\mathcal A$와 $\mathcal B$를 합하면 폐곡선이 되므로 위 식에 따라

\[ \underset{\mathcal A\hspace{15pt}}{\int_{P_0}^P}\mathbf V\cdot(-\mathbf n_A)\mathrm dl
+\underset{\mathcal B\hspace{15pt}}{\int_{P_0}^P}\mathbf V\cdot\mathbf n_B\mathrm dl = 0 \]

\[ \therefore \underset{\mathcal A\hspace{15pt}}{\int_{P_0}^P} \mathbf V\cdot\mathbf n_A\mathrm dl
= \underset{\mathcal B\hspace{15pt}}{\int_{P_0}^P}\mathbf V\cdot\mathbf n_B\mathrm dl \]

즉, $\mathcal A$를 통과하는 부피 유량과 $\mathcal B$를 통과하는 부피 유량은 동일합니다. 두 점 사이를 지나는 부피 유량은 적분 경로를 어떻게 잡든 상관 없다는 말이 됩니다. 그러니, 최대한 간단하게 축에 평행하게 잡아버립시다.

이때 $P_0$와 $P$ 사이를 지나는 부피 유량은

\[ \int_{x_0}^x \mathbf V\cdot(0, -1)\mathrm dx + \int_{y_0}^y\mathbf V\cdot(1, 0)\mathrm dy
=-\int_{x_0}^x v(x’, y_0)\mathrm dx’ + \int_{y_0}^y u(x, y’)\mathrm dy’ \]

이 값은 $P$에 따라 달라지므로 $x$와 $y$의 함수로 쓸 수 있고, 유선 함수(stream function)라고 합니다.

\[ \psi(x, y) = -\int_{x_0}^x v(x’, y_0)\mathrm dx’ + \int_{y_0}^y u(x, y’)\mathrm dy’ \]

$P_0$에서 유선 함수의 값은 0입니다. 기준점인 셈이죠. 한편 위 식을 $y$에 대해 편미분하면 우변 첫째 항은 $x$만의 함수이므로 0이 되어

\[ \frac{\partial\psi}{\partial y} = u(x, y) \]

또 적분 경로를 아래 그림과 같이 잡으면

$P_0$와 $P$ 사이를 지나는 부피 유량, 즉 유선 함수는

\[ \psi(x, y) = \int_{y_0}^y u(x_0, y’)\mathrm dy’ – \int_{x_0}^x v(x’, y)\mathrm dx’ \]

이고, $x$로 편미분하면

\[ \frac{\partial\psi}{\partial x} = -v(x, y) \]

위 두 식으로부터 유선 함수의 편도함수로 속도를 나타낼 수 있습니다.

\[ \mathbf V = \left(\frac{\partial\psi}{\partial y}, -\frac{\partial\psi}{\partial x}\right) \]

실제로 이걸 연속 방정식 $\nabla\cdot\mathbf V=0$에 대입해보면 성립합니다. 또한 이 식에서 유선 함수에 상수가 더해져도 여전히 동일한 유동을 나타냄을 알 수 있습니다. 상수를 더한다는 건 유선 함수의 값이 0이 되는 기준점 $P_0$를 다르게 잡는다는 것이고, 결국 기준점을 마음대로 잡아도 문제 없다는 걸 의미합니다.

만약 기준점과 어떤 점 사이가 아니라 기준점이 아닌 두 점 사이의 부피 유량은 어떻게 될까요?

기준점 $P_0$와 두 점 $P_1$, $P_2$를 생각합시다. 위에서 했던 것과 마찬가지로 $P_0$와 $P_2$ 사이 부피 유량은 $P_0$와 $P_1$ 사이 부피 유량 더하기 $P_1$과 $P_2$ 사이 부피 유량입니다. 그런데 유선 함수의 정의에 의해 $P_1$과 $P_2$ 사이 부피 유량은 $\psi(P_2)-\psi(P_1)$이 됩니다. 즉,

두 점에서 유선 함수의 차이는 두 점 사이를 지나는 부피 유량과 같다.

여기까지 왔으면 드디어 왜 이 함수의 이름이 유선 함수인지 알 수 있습니다. $P_1$과 $P_2$가 같은 유선 위에 있을 때 적분 경로를 유선으로 잡으면 속도 벡터는 절대 유선을 통과하지 않으므로 $P_1$과 $P_2$ 사이를 지나는 부피 유량은 없습니다. 따라서,

같은 유선 위에 있는 점들끼리는 유선 함수의 값이 같다.

역으로 유선 함수의 값을 일정하게 두면 유선을 구할 수 있습니다. 다르게 말하면 일반적인 유선의 방정식을 $\psi(x, y)=c$와 같이 나타낼 수 있습니다. 이것이 유선 함수라는 이름의 기원입니다.

예제 1) 다음 2차원 비압축성 유동에 대해 유선 함수와 점 $(1,1)$을 지나는 유선의 방정식을 구하여라.\[\mathbf V=(-2x, 2y+1)\]

풀이) 유선 함수의 편도함수로 속도를 나타내는 식을 적분합니다.

\[ \begin{align}
\frac{\partial\psi}{\partial x} &= -v = -2y-1 &&\Rightarrow & \psi &= -2xy-x+f(y) \\
\frac{\partial\psi}{\partial y} &= u = -2x &&\Rightarrow & \psi &= -2xy+g(x)
\end{align} \]

\[ \therefore \psi = -2xy-x \]

보통 유선 함수의 상수항은 0으로 두거나 특정 경계(에어포일 표면 등)에서 0이 되도록 정합니다. 점 $(1,1)$을 지나는 유선의 방정식은 그 점에서 유선 함수의 값이 -3이므로

\[ -2xy-x=-3 \]

이 됩니다. ■

스토크스 유선 함수

축대칭(axisymmetric) 유동은 2차원 유동과 매우 유사하기 때문에 유선 함수 비슷한 걸 정의할 수 있습니다. 유선 함수를 유도할 때와 똑같이 대칭축을 포함하는 한 단면 상의 두 점 $P_0(x_0,y_0)$, $P(x,y)$와 둘을 연결하는 곡선 $\mathcal C$를 생각합시다. 이때 $\mathcal C$를 대칭축을 중심으로 한 바퀴 회전하여 만들어지는 곡면을 통과하는 부피 유량은 비압축성 유동의 경우에 $\mathcal C$에 상관없이 항상 일정합니다. 그 부피 유량

\[ \int\limits_\mathcal C 2\pi\rho\mathbf V\cdot\mathbf n\mathrm dl \]

을 $2\pi$로 나눈 값을 스토크스 유선 함수(Stokes stream function)라 부르고, 흔히 $\Psi$로 표기합니다.

\[ \Psi(x, y) = \int\limits_\mathcal C \rho\mathbf V\cdot\mathbf n\mathrm dl \]

여기서 $\rho$는 대칭축까지의 거리입니다.

원통 좌표계

$\mathcal C_1$을 따라 적분하면

\[ \Psi = -\int_{r_0}^r r’u_z(r’,z_0)\mathrm dr’+\int_{z_0}^z ru_r(r,z’)\mathrm dz’ \]

\[ \therefore \frac{\partial\Psi}{\partial z}=ru_r(r, z) \]

$\mathcal C_2$를 따라 적분하면

\[ \Psi = \int_{z_0}^z r_0u_r(r_0,z’)\mathrm dz’-\int_{r_0}^r r’u_z(r’,z)\mathrm dr’ \]

\[ \therefore \frac{\partial\Psi}{\partial r}=-ru_z(r,z) \]

구면 좌표계

$\mathcal C_1$을 따라 적분하면

\[ \Psi = -\int_{\theta_0}^\theta r_0\sin\theta’ u_r(r_0, \theta’)\cdot r_0\mathrm d\theta’
+\int_{r_0}^r r’\sin\theta u_\theta(r’, \theta)\mathrm dr’ \]

\[ \therefore \frac{\partial\Psi}{\partial r} = r\sin\theta u_\theta(r, \theta) \]

$\mathcal C_2$를 따라 적분하면

\[ \Psi = \int_{r_0}^r r’\sin\theta_0 u_\theta(r’, \theta_0)\mathrm dr’
-\int_{\theta_0}^\theta r\sin\theta’ u_r(r, \theta’)\cdot r\mathrm d\theta’ \]

\[ \therefore \frac{\partial\Psi}{\partial\theta} = -r^2\sin\theta u_r(r, \theta) \]

유선 함수의 부호에 관하여

부피 유량을 계산할 때 법선 벡터를 이 글에서는 적분 방향의 오른쪽으로 잡았지만 왼쪽으로 잡을 수도 있습니다. 이렇게 하면 유선 함수의 부호가 반대가 되고

\[ \mathbf V = \left(-\frac{\partial\psi}{\partial y},\frac{\partial\psi}{\partial x}\right) \]

가 되는데 여전히 연속 방정식을 만족하므로 가능한 표기법입니다.

속도 퍼텐셜

속도장의 회전, 즉 와도가 0인 유동을 비회전 유동(irrotational flow)이라고 합니다.

\[ \boldsymbol\omega = \nabla\times\mathbf V = 0 \]

회전이 0인 벡터장은 어떤 스칼라 함수의 기울기로 쓸 수 있으므로,

\[ \mathbf V = \nabla\phi = \left(\frac{\partial\phi}{\partial x}, \frac{\partial\phi}{\partial y}, \frac{\partial\phi}{\partial z}\right) \]

를 만족하는 함수 $\phi$가 존재합니다. 이때 $\phi$를 속도 퍼텐셜(velocity potential)이라고 합니다. 유선 함수와 마찬가지로 속도 퍼텐셜에 어떤 상수가 더해져도 동일한 유동을 나타냅니다. 또, 유선 함수의 값이 일정한 점들을 모은 곡선이 유선이 되듯이 속도 퍼텐셜이 일정한 면을 등퍼텐셜면(equipotential surface)이라고 합니다.

비회전 유동은 속도 퍼텐셜이 존재한다는 점에서 퍼텐셜 유동(potential flow)이라고도 부릅니다. 비회전 유동보단 퍼텐셜 유동이란 말이 좀 더 많이 쓰이는 듯합니다.

예제 2) 다음 퍼텐셜 유동에 대해 속도 퍼텐셜과 점 $(2, 0, 1)$을 지나는 등퍼텐셜면의 방정식을 구하여라.\[ \mathbf V=(2xy, x^2, 1) \]

풀이) 정의에 의해

\[ \begin{align}
\frac{\partial\phi}{\partial x}&=2xy &&\Rightarrow &\phi&=x^2y + f(y, z) \\
\frac{\partial\phi}{\partial y}&=x^2 &&\Rightarrow &\phi&=x^2y + g(z, x) \\
\frac{\partial\phi}{\partial z}&=1 &&\Rightarrow &\phi&=z + h(x, y)
\end{align} \]

\[ \therefore \phi=x^2y+z \]

점 $(2, 0, 1)$을 지나는 등퍼텐셜면은

\[ x^2y+z=1 \]

입니다. ■

퍼텐셜 유동의 물리적 의미

물리적으로 명확한 의미를 가지는 비압축성이나 비점성 유동과 달리, 퍼텐셜 유동은 굉장히 억지스러운 조건인 것 처럼 보입니다. 하지만 비압축성 퍼텐셜 유동에서는 나비에-스토크스 방정식의 점성항이 아래와 같이 0이 되어버립니다.

\[ \mu\nabla^2\mathbf V + (\mu+\lambda)\nabla(\nabla\cdot\mathbf V)
=\mu[\nabla(\underbrace{\nabla\cdot\mathbf V}_{=0})
-\nabla\times(\underbrace{\nabla\times\mathbf V}_{=0})]
+ (\mu+\lambda)\nabla(\underbrace{\nabla\cdot\mathbf V}_{=0})
= 0 \]

따라서 비압축성 퍼텐셜 유동은 점성이 0이 아니라도 비점성 유동처럼 취급할 수 있습니다. 물론 압축성 퍼텐셜 유동은 비점성이라고 말할 수 없습니다(예제 2의 속도장이 그렇습니다).

유선과 등퍼텐셜선의 관계

2차원 비압축성 퍼텐셜 유동은 유선 함수와 속도 퍼텐셜이 모두 정의되고, 따라서 유선과 등퍼텐셜선(2차원이니까 면 대신 선)을 생각할 수 있습니다. 이 둘의 관계는 어떻게 될까요?

기울기의 성질에 의해 $\nabla\psi$는 유선에 수직하고 $\nabla\phi$는 등퍼텐셜선에 수직합니다. 그런데

\[ \nabla\psi\cdot\nabla\phi=\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{\partial\phi}{\partial x}
+\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\partial\phi}{\partial y}=(-v)u+uv=0 \]

이므로 유선과 등퍼텐셜선은 수직합니다.