니벤의 정리 (Niven’s Theorem)

특수각의 삼각비

삼각비(와 그 확장인 삼각함수)를 처음 배우게 되면 특수각이라는 이름으로 자주 쓰는 0˚, 30, 45˚, 60˚, 90˚와 좀 더 나가면 15˚, 75˚, 22.5˚ 등의 각에서 삼각비의 값을 계산해보게 됩니다. 여기에다 특수각이란 이름까지 붙여가면서 흔히들 쓰는 이유야 당연하겠지만 육십분법으로 나타냈을 때 정수이거나, 90˚를 2의 거듭제곱으로 나눈 값이라서 사람 입장에서 편하기 때문이죠. 호도법을 써서 좀 일반적으로 말하자면 $\pi$의 유리수배라서 많이 쓴다고 말할 수 있겠습니다. 그런데 특수각의 삼각비를 살펴보면 대부분 근호가 하나씩은 포함돼있고, 유리수인 경우는 어째 사인과 코사인의 경우에 0, 1/2, 1 밖에 없는 거 같습니다. 과연 그럴까요?

니벤의 정리

니벤의 정리) $0\le a\le\frac{1}{2}$인 유리수 $a$에 대해 $\sin\pi a$가 유리수인 경우는\[\begin{align}a&=0&\Rightarrow&&\sin0&=0\\
a&=\frac{1}{6}&\Rightarrow&&\sin\frac{\pi}{6}&=\frac{1}{2}\\
a&=\frac{1}{2}&\Rightarrow&&\sin\frac{\pi}{2}&=1\end{align}\]뿐이다. 마찬가지로 $\cos\pi a$가 유리수인 경우는 $a=0,\frac{1}{3},\frac{1}{2}$ 뿐이다.

증명

코사인에 대해서 증명하겠습니다. 먼저 보조정리 하나를 증명하고 넘어갑시다.

보조정리) 양의 정수 $n$에 대해\[F_n(2\cos\theta)=2\cos n\theta\]를 만족하는 $n$차 정수 계수 모닉1 다항식 $F_n(x), \ -2 \le x \le 2$가 존재한다.

증명) 체비쇼프 다항식과 비슷하죠? 증명도 똑같습니다. $n=1$과 $n=2$일 때

\[ F_1(x) = x, \quad F_2(x) = x^2-1 \]

로 존재합니다. $n \ge 2$일 땐 삼각함수의 덧셈정리에 의해

\[ \cos n\theta + \cos(n-2)\theta = 2\cos(n-1)\theta\cos\theta \]

이므로 양변에 2를 곱하고 $2\cos n\theta$를 $F_n(2\cos\theta)$으로 바꿔주면

\[\begin{align}
&F_n(2\cos\theta) + F_{n-2}(2\cos\theta) = 2\cos\theta F_{n-1}(2\cos\theta) \\
&\Rightarrow F_n(x) + F_{n-2}(x) = xF_{n-1}(x) \\
&\therefore F_n(x) = xF_{n-1}(x) – F_{n-2}(x)
\end{align}\]

가 되어 $F_n$도 $n$차 정수 계수 모닉 다항식이 됩니다. ■

$a$가 유리수라 가정했으므로 적당한 양의 정수 $n$과 $k$에 대해 $a=\frac{2k}{n}$로 쓸 수 있습니다. 또한 $c=2\cos\pi a$라 하면

\[ F_n(c) = F_n(2\cos\pi a) = F_n\left(2\cos\frac{2\pi k}{n}\right) = 2\cos(2\pi k) = 2. \]

이제 $\cos\pi a$도 유리수라 가정하면 $c$는 방정식 $F_n(x)-2=0$의 유리근이 됩니다. 그런데 $F_n(x)-2$는 최고차항의 계수가 1이기 때문에 정수 계수 다항식의 모든 유리근은 (상수항의 약수)/(최고차항의 약수) 꼴이라는 정리에 의해 $F_n(x)-2$의 유리근은 모두 분모가 1 또는 -1, 즉 정수여야 하고, 따라서 $c$는 정수입니다. 최종적으로,

\[ 0 \le a \le \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ 0 \le \cos\pi a \le 1 \ \Rightarrow \ 0 \le c = 2\cos\pi a \le 2 \ \Rightarrow \ c \in \{0, 1, 2\} \]

\[ \therefore \cos\pi a = 0, \quad \frac{1}{2}, \quad \text{or} \quad 1 \]

이 때 $a$는 각각 $0, \frac{1}{3}, \frac{1}{2}$입니다. 한편

\[ \sin\pi a = \cos\left(\frac{\pi}{2}-\pi a\right) = \cos\left(\frac{1}{2}-a\right)\pi \]

이므로 $\sin\pi a$가 유리수가 되는 경우 또한 $0,\frac{1}{2},1$ 뿐이고 그 때 $a$는 각각 $0, \frac{1}{6}, \frac{1}{2}$입니다. ■

응용

따름정리 1) $0\le a<\frac{1}{2}$인 유리수 $a$에 대해 $\tan\pi a$가 유리수인 경우는\[\begin{align}
a&=0&\Rightarrow&&\tan0&=0 \\
a&=\frac{1}{4}&\Rightarrow&&\tan\frac{\pi}{4}&=1
\end{align}\]뿐이다.

증명) $\tan\pi a$가 유리수이면

\[ \cos 2\pi a = \frac{1-\tan^2\pi a}{1+\tan^2\pi a} \]

도 유리수입니다. 그런데 니벤의 정리에 의해 $0 \le 2a < 1$ 범위에서 $\cos 2\pi a$가 유리수인 경우는

\[ a \in \left\{ 0, \frac{1}{6}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3} \right\} \]

뿐입니다. 이 중에서 $\tan\pi a$가 유리수인 걸 찾아보면 $a=0,\frac{1}{4}$입니다. ■

따름정리 2) $0\le a\le\frac{1}{2}$인 유리수 $a$에 대해 $\sqrt2\sin\pi a$가 유리수인 경우는\[\begin{align}
a&=0&\Rightarrow&&\sqrt2\sin0&=0 \\
a&=\frac{1}{4}&\Rightarrow&&\sqrt2\sin\frac{\pi}{4}&=1
\end{align}\]뿐이다.

증명) 따름정리 1과 완전히 똑같습니다. $\sqrt2\sin\pi a$가 유리수이면

\[ \cos2\pi a = 1 – 2\sin^2\pi a \]

도 유리수입니다. 니벤의 정리에 의해 $0 \le 2a \le 1$ 범위에서 $\cos 2\pi a$가 유리수인 경우는

\[ a \in \left\{ 0, \frac{1}{6}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2} \right\} \]

뿐입니다. 이 중에서 $\sqrt2\sin\pi a$가 유리수인 걸 찾아보면 $a=0, \frac{1}{4}$입니다. ■

  1. 최고차항의 계수가 1