체비쇼프 다항식 (Chebyshev Polynomial)

제1종 체비쇼프 다항식

코사인 배각 공식

\[ \cos2\theta = 2\cos^2\theta-1, \quad \cos3\theta = 4\cos^3\theta-3\cos\theta,
\quad \cos4\theta = 8\cos^4\theta-8\cos^2\theta+1 \]

을 생각해보면 $\cos n\theta$를 $\cos\theta$의 정수 계수 다항식으로 나타낼 수 있을 것처럼 보입니다.

제1종 체비쇼프 다항식) 음이 아닌 정수 $n$에 대해\[ T_n(\cos\theta) = \cos n\theta \]를 만족하는 $n$차 정수 계수 다항식 $T_n(x), \ -1 \le x \le 1$이 존재한다.

증명) 수학적 귀납법을 씁니다. 먼저 $n=0$과 $n=1$일 때 자명하게 존재합니다.

\[ T_0(x) = 1, \quad T_1(x)=x \]

$n\ge2$일 때에는 삼각함수의 덧셈정리에 의해

\[ \cos n\theta+\cos(n-2)\theta=2\cos\theta\cos(n-1)\theta \]

이므로

\[ T_n(x) = 2xT_{n-1}(x)-T_{n-2}(x) \]

가 되어 역시 $n$차 정수 계수 다항식 $T_n$이 존재합니다. ■

제1종 체비쇼프 다항식은 아래와 같은 성질을 가집니다.

  • $T_n(-x)=(-1)^nT_n(x)$
  • $n\ge1$일 때 $T_n$의 최고차항의 계수는 $2^{n-1}$
    수학적 귀납법으로 증명 가능합니다.
  • $T_m(T_n(x))=T_{mn}(x)$
    $-1\le x\le1$이므로 $x=\cos\theta$를 만족하는 $\theta$가 존재하고, 따라서 \[T_m(T_n(x))=T_m(T_n(\cos\theta))=T_m(\cos n\theta)=\cos mn\theta=T_{mn}(\cos\theta)=T_{mn}(x).\]
  • $T_n\left(\cos\frac{2k-1}{2n}\pi\right)=0, \quad k=1,2,\cdots,n$
    $T_n$의 정의와 코사인 함수의 정의상 당연합니다. $T_n(x)=0$은 $n$개의 근을 가지는데, 위 식에 의해 $\cos\frac{2k-1}{2n}\pi, \ k=1,2,\cdots,n$이 그 근이 됩니다.

제2종 체비쇼프 다항식

당연히 사인 배각 공식에도 뭔가 있어야겠지요?

제2종 체비쇼프 다항식) 음이 아닌 정수 $n$에 대해\[ U_n(\cos\theta)\sin\theta = \sin(n+1)\theta \]를 만족하는 $n$차 정수 계수 다항식 $U_n(x), \ -1 \le x \le 1$이 존재한다.

증명) 똑같이 수학적 귀납법입니다. $n=0$과 $n=1$일 때

\[ U_0(x) = 1, \quad U_1(x) = 2x \]

로 자명하게 존재하고, $n\ge2$일 때 삼각함수의 덧셈정리에 의해

\[ \sin(n+1)\theta+\sin(n-1)\theta = 2\sin n\theta\cos\theta \]

이므로

\[ U_n(\cos\theta)\sin\theta = 2U_{n-1}(\cos\theta)\sin\theta\cos\theta – U_{n-2}(\cos\theta)\sin\theta \]

또는

\[ U_n(x) = 2xU_{n-1}(x) – U_{n-2}(x) \]

가 되어 $n$차 정수 계수 다항식 $U_n$이 존재합니다. ■

제2종 체비쇼프 다항식은 아래와 같은 성질을 가집니다.

  • $U_n(-x)=(-1)^nU_n(x)$
  • $U_n$의 최고차항의 계수는 $2^n$
    수학적 귀납법으로 증명합니다.
  • $U_n\left(\cos\frac{k}{n+1}\pi\right)=0, \quad k=1,2,\cdots,n$
    역시 이쪽도 $U_n$의 근이 됩니다.