제1회 플로우컵 풀이

https://www.acmicpc.net/contest/view/347

평면기하의 아이디어 냄새가 나는 대회입니다.

BOJ 16478:: 원의 분할

방멱의 정리.

\[ p_{ab}p_{cd}=p_{bc}p_{da} \]

BOJ 16479:: 컵라면 측정하기

너무 간단한 피타고라스 정리 문제입니다.

BOJ 16480:: 외심과 내심은 사랑입니다

오일러의 정리 $d^2 = R(R-2r)$을 씁니다.

BOJ 16481:: 원 전문가 진우

\[ \frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} \]

이름은 모르겠는데 이런 정리가 있습니다.

BOJ 16482:: 한 점에서 만나라!

그림을 그려보면 체바의 정리가 눈에 바로 보입니다.

BOJ 16483:: 접시 안의 원

역시 피타고라스 정리.오

BOJ 16484:: 작도하자! – ①

나비 정리에 의해 $\overline{PM}=\overline{QM}$입니다.

BOJ 16485:: 작도하자! – ②

각의 이등분선 정리.

BOJ 16486:: 운동장 한 바퀴

… 풀이가 필요할까요?

BOJ 16487:: 말 타기

스튜어트 정리.

BOJ 16488:: 피카츄가 낸 어려운 문제

\[ \overline{AP_i}^2 + \overline{BP_i}\times\overline{CP_i} = (h^2+k^2)+(a-k)(a+k) = h^2+a^2 = N^2 \]

따라서 정답은 $N^2k$.

BOJ 16489:: 삼각형 해커

그냥 더러운 문제입니다.

  • 넓이: 헤론의 공식.
  • 외접원 반지름: 사인 정리에 의해 $R=\frac{abc}{4S}$입니다.
  • 내접원 반지름: $S=\frac{1}{2}r(a+b+c)$라는 유명한 관계식을 씁시다.
  • 외심과 내심 사이 거리: 오일러 정리. 대체 왜 또 낸 걸까요…
  • 외심에서 삼각형의 세 변에 내린 수선들의 길이의 합: 주어지는 삼각형은 예각삼각형이므로, 항상 외심이 삼각형 내부에 존재합니다. 따라서 그냥 피타고라스 정리로 수선의 길이를 구해줍니다.

이미 충분히 망한 문제이지만, 이걸 그대로 짜서 내면 틀립니다. 오일러 정리로 외심과 내심 사이 거리를 구하는 것에서 실수 오차가 크기 때문에 입력 1000 1000 1000을 넣으면 거리가 0이 안 나옵니다. 이걸 해결하는 방법은 파이썬 decimal이나 자바 BigDecimal밖에 없습니다.

이러고도 구데기가 아직 안 끝났습니다! 유효숫자에 상관없이 세 변의 길이가 같은 몇몇 입력에서 $R(R-2r)$이 음수가 되기 때문에(!) 제곱근을 구하면 런타임 에러가 납니다. 예외 처리나 max(0, R*(R-2*r)) 등의 방법으로 런타임 에러를 피해봅시다.

여러모로 참 대단합니다.

BOJ 16490:: 외계인의 침투

원주각의 성질에 의해 $\angle ACB = \angle APB = 60^\circ$이고 $\angle ABC = \angle APC = 60^\circ$입니다. 또한 원에 내접하는 사각형의 성질에 의해 $\angle ABP + \angle ACP = 180^\circ$도 성립합니다. 따라서 $\triangle ABP$를 꼭짓점 $A$를 중심으로 60도 돌려서 $B$와 $C$가 맞닿게 하면 정삼각형 $APP’$이 생깁니다. 그러므로

\[ bc = \left(\frac{a}{2}-k\right)\left(\frac{a}{2}+k\right) = \frac{a^2}{4}-k^2 = \frac{a^2}{4}-(t^2-h^2) = \frac{a^2}{4}-t^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}a\right)^2 = a^2-t^2 \]