[공기역학] 유체 정역학 (Fluid Statics)

공기역학에서 유체 정역학을 다룰 일은 거의 없지만, 대기의 성질과 부력을 설명하는 정도는 짚고 넘어가는 것이 좋을 거 같습니다.

유체 정역학은 문자 그대로 정지한 유체($\mathbf{V}=0$)에 대해 다룹니다. 따라서 지배 방정식은

연속 방정식

\[ \frac{\partial\rho}{\partial t}=0\]

운동량 방정식

\[ \nabla p=\rho\mathbf{g} \]

에너지 방정식

\[ \rho\frac{\partial h}{\partial t}=\nabla\cdot(k\nabla T)+\frac{\partial p}{\partial t} \]

대기 모델

중력가속도가 $-z$ 방향으로 $g$만큼 일정하게 작용한다고 해봅시다. 그러면 운동량 방정식에 의해

\[ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}=-\rho g \]

미국 표준 대기(U.S. Standard Atmosphere)나 국제 표준 대기(International Standard Atmosphere) 등 대부분의 대기 모델에서는 높이에 따라 온도가 선형적으로 변하거나 일정하고, 공기가 이상 기체라고 가정합니다. 먼저 온도가 선형적으로 변하는 경우를 살펴봅시다. $T=az+b$라고 하면

\[ \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}=-\frac{p}{RT}g \]

또는

\[ \frac{\mathrm{d}p}{p}=-\frac{g}{R}\frac{\mathrm{d}z}{az+b} \]

높이 $z_0$에서 압력 $p_0$를 알고 있다 하고 양변을 적분합니다.

\[ \ln\frac{p}{p_0}=-\frac{g}{aR}\ln\frac{az+z}{az_0+b}=-\frac{g}{aR}\ln\frac{T}{T_0} \]

\[ \therefore \frac{p}{p_0}=\left(\frac{T}{T_0}\right)^{-g/(aR)} \]

밀도는

\[ \frac{\rho}{\rho_0}=\frac{p}{p_0}\frac{T_0}{T}=\left(\frac{T}{T_0}\right)^{-[g/(aR)+1]} \]

온도가 $T=T_0$로 일정한 경우

\[ \frac{\mathrm{d}p}{p}=-\frac{g}{RT_0}\mathrm{d}z \]

역시 양변을 적분하면

\[ \ln\frac{p}{p_0}=-\frac{g}{RT_0}(z-z_0) \]

\[ \therefore\frac{p}{p_0}=\exp\left[-\frac{g}{RT_0}(z-z_0)\right] \]

마찬가지로 밀도는

\[ \frac{\rho}{\rho_0}=\frac{p}{p_0}=\exp\left[-\frac{g}{RT_0}(z-z_0)\right] \]

가 됩니다.

부력

대기 모델과 마찬가지로 정지한 유체에 중력가속도가 $-z$ 방향으로 $g$만큼 일정하게 작용하는 경우를 생각합시다. 유체 속에 정지한 검사 체적을 생각하면 검사 체적 표면에 작용하는 압력이 있으므로 검사 체적은 힘을 받게 됩니다. 이 힘을 부력(buoyancy)이라고 부르죠. 검사 체적의 미소 표면 요소 $\mathrm{d}S$에 작용하는 압력에 의한 힘은 $-p\mathbf{n}\mathrm{d}S$이므로 적분하면

\[ \mathbf{F}_b=-\iint\limits_\textrm{CS}p\mathbf{n}\mathrm{d}S \]

$x$방향 성분만 생각해서 발산 정리를 씁시다.

\[ \mathbf{F}_{b,x}=-\iint\limits_\textrm{CS}p\mathbf{i}\cdot\mathbf{n}\mathrm{d}S
=-\iiint\limits_\textrm{CV}\nabla\cdot(p\mathbf{i})\mathrm{d}\mathcal{V}
=-\iiint\limits_\textrm{CV}\frac{\partial p}{\partial x}\mathrm{d}\mathcal{V} \]

$y$, $z$방향도 똑같이 해주면

\[ \mathbf{F}_b=-\iiint\limits_\textrm{CV}\nabla p\mathrm{d}\mathcal{V} \]

그런데

\[ \begin{align}
\frac{\partial p}{\partial x}&=0 \\
\frac{\partial p}{\partial y}&=0 \\
\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}&=-\rho g
\end{align} \]

이므로

\[ \mathbf{F}_b=\rho g\mathbf{k}\iiint\limits_\textrm{CV}\mathrm{d}\mathcal{V}=\rho g\mathcal{V}\mathbf{k} \]

여기서 $\mathcal{V}$는 검사 체적의 부피입니다.

즉, 부력의 방향은 중력과 반대 방향이고 그 크기는 검사 체적과 동일한 부피를 가지는 유체 덩어리에 작용하는 무게와 똑같습니다. 바로 아르키메데스 원리(Archimedes’ principle)입니다.