[공기역학] 지배 방정식의 경계 조건(Boundary Condition)

지배 방정식을 구했으면 다음 차례는 방정식의 해를 결정하는 경계 조건을 구하는 것입니다.

유체와 벽 사이 경계

벽 위의 한 점을 생각해봅시다. 벽의 속도가 $\mathbf{V}_\textrm{wall}$이라면 벽과 맞닿는 유체의 속도 $\mathbf{V}$는

\[ \mathbf{V}=\mathbf{V}_\textrm{wall} \]

를 만족해야 합니다. 만약 속도가 다르다면 벽과 유체 사이에 무한히 큰 응력이 생기겠죠. 이를 점착 조건(no-slip condition)이라고 합니다.

또 속도와 마찬가지로 벽의 온도와 유체의 온도는 같습니다.

\[ T=T_\textrm{wall} \]

이 조건은 매우 빠르거나 밀도가 희박한 유동에선 성립하지 않지만 평균적인 상황에서는 실험적으로 잘 성립합니다.

추가로, 에너지 보존에 의해 벽에서 유체로 전달되는 열에너지와 유체에서 주변 다른 유체 요소로 전달되는 열에너지가 같아야 합니다.

\[ \mathbf{q}=-k\frac{\partial T}{\partial n}=\mathbf{q}_\textrm{wall} \]

유체와 유체 사이 경계

유체와 벽 사이 경계와 비슷합니다. 먼저 경계면 양쪽 속도가 동일해야 합니다.

\[ \mathbf{V}_1=\mathbf{V}_2 \]

추가로 경계면 양쪽 전단 응력도 똑같아야 합니다.

\[ \mathbf{\tau}_{t1}=\mathbf{\tau}_{t2} \]

경계면 양쪽 온도와 경계면에 수직으로 통과하는 열에너지 또한 같습니다.

\[ \begin{align}
T_1&=T_2 \\
-k_1\frac{\partial T_1}{\partial n}&=-k_2\frac{\partial T_2}{\partial n}
\end{align} \]

수직 응력은 약간 다릅니다. 경계면 양쪽의 수직 응력 차이는 표면 장력에 좌우됩니다. 예를 들어 공기 중에 물방울이 있을 경우 물의 압력이 공기의 압력보다 약간 높아서 물의 표면 장력을 버티게 됩니다. 하지만 표면 장력을 무시할 만한 경우(분자 간 인력이 없거나(비점성) 경계면이 아주 평탄) 양쪽의 수직 응력은 같게 됩니다.

원거리장 조건

공기역학에서 주로 다루는 외부 유동은 물체가 가만히 있고 물체를 향해 일정한 속도로 바람이 불어 오는 유동입니다. 물체 근방에서는 속도 등이 위치별로 크게 차이가 나겠지만, 물체에서 아주 멀리 떨어진 곳에서는 속도와 압력, 온도 등이 일정합니다. 이를 원거리장 조건(far field condition)이라고 합니다. 그리고 원거리의 일정한 유동을 자유흐름(freestream)이라 합니다.

\[ \begin{align}
\lim_{r\rightarrow\infty}\mathbf{V}&=\mathbf{V}_\infty \\
\lim_{r\rightarrow\infty}p&=p_\infty \\
\lim_{r\rightarrow\infty}T&=T_\infty \\
&\vdots
\end{align} \]

비점성 유동의 속도 조건

비점성 유동은 전단응력이 없기 때문에 서로 맞닿는 유체나 벽의 속도에 차이가 있어도 됩니다. 따라서 전단 응력 조건은 사라지고, 속도는 (연속 방정식을 만족시키도록) 수직 속도만 맞으면 됩니다. 이를 유동 접선 조건(flow tangency condition)이라고 합니다.

이 조건을 조금 다르게 쓸 수 있습니다. 경계면을 $F(t,x,y,z)=0$이라고 하면 경계면 양쪽 유체 요소의 수직 속도와 경계면 자체의수직 속도가 같으므로 경계면에 맞닿는 유체 요소는 시간이 지나도 경계면에 맞닿기 때문에

\[ \frac{\mathrm{D}F}{\mathrm{D}t}=\frac{\partial F}{\partial t}+\mathbf{V}_1\cdot\nabla F
=\frac{\partial F}{\partial t}+\mathbf{V}_2\cdot\nabla F=0 \]