이전까지 다루었던 지배 방정식 세 개(연속 방정식, 운동량 방정식, 에너지 방정식)에 포함된 변수는

• 밀도 $\rho$
• 속도 $u$, $v$, $w$
• 압력 $p$
• 온도 $T$
• 엔탈피 $h$ (또는 내부 에너지 $e$)

로 총 7개입니다. 그런데 방정식 개수는 연속 방정식이 하나, 운동량 방정식이 방향 별로 총 셋, 에너지 방정식 하나 해서 다섯 개밖에 없으므로 방정식 두 개가 더 필요합니다.

상태 방정식

너무 높은 온도나 압력이 아닌 경우에는 공기를 이상 기체(ideal gas)로 가정할 수 있습니다. 즉, 상태 방정식(Equation of State)

\[ p=\rho RT \]

가 추가됩니다. 여기서 기체 상수 $R$은 공기에 대해 약 287 J/kg·K입니다.

정적 비열과 정압 비열

정적 비열(specific heat at constant volume)은 계의 부피를 일정하게 유지시킨 상태에서 계의 온도를 단위 온도만큼 증가시키기 위해 필요한 단위 질량당 열로 정의합니다.

\[ c_v=\frac{1}{m}\left(\frac{\delta Q}{\mathrm{d}T}\right)_{\text{const. }v} \]

그런데 부피가 일정하면 $\delta Q = \mathrm{d}E + p\mathrm{d}\mathcal{V} = \mathrm{d}E$가 되므로

\[ c_v=\frac{1}{m}\left(\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}T}\right)_{\text{const. }v}
=\left(\frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}T}\right)_{\text{const. }v} \]

내부에너지는 과정에 의존하지 않는 상태량이기 때문에 내부 에너지를 온도로 미분한 값은 과정에 상관없이 같습니다. 따라서

\[ c_v = \frac{\partial e}{\partial T} \]

정압 비열(specific heat at constant pressure)은 계의 압력을 일정하게 유지시킨 상태에서 계의 온도를 단위 온도만큼 증가시키기 위해 필요한 단위 질량당 열로 정의합니다.

\[ c_p=\frac{1}{m}\left(\frac{\delta Q}{\mathrm{d}T}\right)_p \]

마찬가지로 $\delta Q = \mathrm{d}H – \mathcal{V}\mathrm{d}p$이므로

\[ c_p=\frac{1}{m}\left(\frac{\mathrm{d}H}{\mathrm{d}T}\right)_{\text{const. }p}=\frac{\partial h}{\partial T}\]

보통의 기체들은 열적 완전 기체(thermally perfect gas)로 다룰 수 있습니다. 열적 완전 기체에서는 내부 에너지, 엔탈피, 두 가지 비열이 오직 온도만의 함수입니다. 이상 기체는 열적 완전 기체에 포함됩니다(증명은 통계역학에서). 이 경우

\[ \begin{align}
c_v(T)&=\frac{\mathrm{d}e}{\mathrm{d}T} & \therefore\mathrm{d}e&=c_v(T)\mathrm{d}T \\
c_p(T)&=\frac{\mathrm{d}h}{\mathrm{d}T} & \therefore\mathrm{d}h&=c_p(T)\mathrm{d}T
\end{align} \]

가 됩니다. 추가로 $c_v$와 $c_p$가 일정하다고 가정하면(constant property 가정) 양변을 단순 적분해서 아래와 같이 쓸 수 있습니다. 이런 기체를 열량적 완전 기체(calorically perfect gas)라고 합니다.

\[ \begin{align}
e&=c_vT \\
h&=c_pT
\end{align} \]

이 식이 제일 마지막 지배 방정식이 됩니다.

정적 비열과 정압 비열의 관계, 비열비

상태 방정식에서 $\frac{p}{\rho}=RT$이므로 엔탈피의 정의를 다르게 쓸 수 있습니다.

\[ h = e+\frac{p}{\rho} = e + RT \]

미분형으로 고치면

\[ \begin{gather}
\mathrm{d}h=\mathrm{d}e+R\mathrm{d}T \\
c_p\mathrm{d}T=c_v\mathrm{d}T+R\mathrm{d}T \\
\therefore \ c_p-c_v=R
\end{gather} \]

즉, 정압 비열은 정적 비열보다 정확히 기체 상수만큼 큽니다. 그리고 비열비(ratio of specific heat)를

\[ \gamma=\frac{c_p}{c_v} \]

로 정의하면

\[ \begin{gather}
\gamma=\frac{c_v+R}{c_v}=1+\frac{R}{c_v} \\
\therefore \ c_v=\frac{R}{\gamma-1}, \ c_p=c_v+R=\frac{\gamma R}{\gamma-1}
\end{gather} \]

$c_p$를 $R$과 $\gamma$로 나타내는 식은 압축성 공기역학에서 매우 유용하게 쓰입니다.

열 방정식

정지한 비압축성 유체에 일정한 압력이 가해지는 경우를 생각해봅시다. 그러면 에너지 방정식에서 항이 여럿 날아갑니다.

\[ \rho\frac{\partial h}{\partial t}=\nabla\cdot(k\nabla T) \]

$h=c_pT$까지 대입하면

\[ \rho c_p\frac{\partial T}{\partial t}=\nabla\cdot(k\nabla T) \]

이 방정식은 열의 세 가지 이동 형태 중 하나인 ‘전도’를 설명하는 방정식으로, 열 방정식(heat equation) 또는 열 확산 방정식(heat diffusion equation)이라고 합니다. 만약 $k$가 일정하다면(constant property 가정)

\[ \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t}=k\nabla^2 T \]

\[ \therefore \frac{\partial T}{\partial t}=\frac{k}{\rho c_p}\nabla^2 T \]

$\frac{k}{\rho c_p}$는 이 식이 아니더라도 굉장히 자주 등장하는 물리량으로, 특별히 열확산율(thermal diffusivity) $\alpha$로 정의합니다. 왜 하필 이름이 ‘확산율’이며, 물리적 의미는 또 무엇인지는 다음에 설명하겠습니다.