원주율과 관련된 식 하나

함수

\[ f = \frac{\sin^{-1}x}{\sqrt{1-x^2}},\qquad-1\le x\le1 \]

의 매클로린 급수를 구해봅시다. 먼저 함수를 미분하면

\[ f’=\frac{1+x(\sin^{-1}x)/\sqrt{1-x^2}}{1-x^2}=\frac{1+xf}{1-x^2} \]

이므로 $(1-x^2)f’=1+xf$입니다. 매클로린 급수를

\[ f=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+\cdots \]

로 가정하고 대입한 다음 $x^{n+1} \ (n\ge1)$의 계수를 비교해봅시다.

\[ (n+2)c_{n+2}-nc_n=c_n \]

\[ \therefore c_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}c_n \]

$f(0)$과 $f'(0)$을 계산하면 $c_0=0$이고 $c_1=1$이므로

\[ \begin{align}
c_{2n}&=0&(n\ge0) \\
c_{2n-1}&=\frac{2\cdot4\cdot6\cdots(2n-2)}{3\cdot5\cdot7\cdots(2n-1)}
=\frac{[2\cdot4\cdot6\cdots(2n-2)]^2}{1\cdot2\cdot3\cdots(2n-1)}
=\frac{2^{2n-2}(n-1)!^2}{(2n-1)!}&(n\ge1)
\end{align} \]

따라서

\[ \begin{align}
\frac{1}{2}xf&=\frac{1}{2}c_0x+\frac{1}{2}c_1x^2+\frac{1}{2}c_2x^3+\cdots \\
&=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{2}c_{2n-1}x^{2n} \\
&=\sum_{n=1}^\infty\frac{(2x)^{2n}n!^2}{4n(2n)!}
\end{align} \]

양변을 미분하고 $x$를 곱합시다.

\[ \frac{1}{2}xf+\frac{1}{2}x^2f’=
\sum_{n=1}^\infty\frac{(2x)^{2n}n!^2}{2(2n)!} \]

한 번 더 하면

\[ \frac{1}{2}xf+\frac{3}{2}x^2f’+\frac{1}{2}x^3f^{\prime\prime}=
\sum_{n=1}^\infty\frac{n(2x)^{2n}n!^2}{(2n)!} \]

이제 우변 급수가 수렴하는지 살펴봅시다.

\[ a_n=\frac{n(2x)^{2n}n!^2}{(2n)!} \]

이라 하면 $x>0$일 때 $a_n>0$이고

\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{2(n+1)^2}{n(2n+1)}x^2=x^2 \]

이므로 비판정법에 의해 $0<x<1$에서 수렴합니다. 최종적으로 $x=1/\sqrt2$를 대입하면

\[ \pi+3=\sum_{n=1}^\infty\frac{n2^nn!^2}{(2n)!} \]

입니다.