[공기역학] 연속 방정식(Continuity Equation) 유도

레이놀즈 수송정리에 다양한 물리량을 적용시키면 유체 운동을 기술하는 여러 지배 방정식(governing equation)을 도출할 수 있습니다. 제일 먼저 질량을 대입해봅시다. ($B = m$, $\beta = 1$)

\[ \frac{\mathrm D m_\textrm{sys}}{\mathrm D t} = \frac{\partial}{\partial t} \iiint \limits_\textrm{CV} \rho \mathrm d \mathcal V
+ \iint \limits_\textrm{CS} \rho \mathbf V \cdot \mathbf n \mathrm d S \]

그런데 질량 보존의 법칙에 의해 유체 요소의 질량이 바뀔 수는 없으므로 $\frac{\mathrm D m_\textrm{sys}}{\mathrm D t} = 0$이어야만 합니다. 여기에 발산 정리를 써서 면적분을 부피적분으로 바꿔주면

\[ \frac{\partial}{\partial t} \iiint \limits_\textrm{CV} \rho \mathrm d \mathcal V
+ \iiint \limits_\textrm{CV} \nabla \cdot (\rho \mathbf V) \mathrm d \mathcal V = 0 \]

좌변 첫 번째 항에서 적분 영역인 검사체적은 불변이므로 $\frac{\partial}{\partial t}$을 적분 안으로 넣을 수 있습니다.

\[ \iiint \limits_\textrm{CV} \left[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf V) \right] \mathrm d \mathcal V = 0 \]

임의의 적분 영역에 대해 항상 적분값이 0이려면 피적분 함수가 항상 0이어야 합니다.

\[ \therefore \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf V) = 0 \]

이를 연속 방정식이라고 합니다. 만약 정상 유동이라면 $\frac{\partial}{\partial t} = 0$이므로

\[ \nabla \cdot (\rho \mathbf V) = 0 \]

이고 비압축성 유동에서는 $\rho$가 일정하므로

\[ \nabla \cdot \mathbf V = 0 \]

가 됩니다.

속도의 발산이 갖는 의미

연속 방정식을 다시 쓰면

\[ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf V)
= \frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathbf V \cdot \nabla \rho + \rho \nabla \cdot \mathbf V = 0 \]

\[ \therefore \nabla \cdot \mathbf V = – \frac{1}{\rho} \left( \frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathbf V \cdot \nabla \rho \right)
= -\frac{1}{\rho} \frac{\mathrm D \rho}{\mathrm D t} \]

질량 $m$, 부피 $\mathcal V$인 아주 작은 유체 요소를 생각합시다. $\rho = m / \mathcal V$를 대입하면

\[ \nabla \cdot \mathbf V = – \mathcal V \frac{\mathrm D (1 / \mathcal V)}{\mathrm D t}
= \frac{1}{\mathcal V} \frac{\mathrm D \mathcal V}{\mathrm D t} \]

즉, 속도의 발산은 유체 요소의 단위 부피당 부피의 시간 변화율이며, 따라서 이를 부피팽창률(rate of dilatation 또는 간단히 dilatation)이라고 부릅니다. 비압축성 유동에서는 부피팽창률이 0이므로 밀도가 변하지 않는다는 사실과 잘 일치하죠.