[공기역학] 물질 도함수 (Material Derivative)와 레이놀즈 수송정리 (Reynolds Transport Theorem)

유체 운동을 보는 두 가지 관점

다른 고전역학 분야가 불연속적으로 떨어진 물체 여러 개의 운동을 다루는 반면에, 유체역학은 연속체 역학(continuum mechanics)의 일부로서 다루는 영역 내의 모든 점에 연속적으로 유체가 분포합니다. 따라서 유체 운동을 기술하는 두 가지 관점이 등장하게 됩니다.

  1. 라그랑주 관점(Lagrangian specification 또는 description, view)
    특정 유체 요소(fluid element)를 따라가면서 이 유체 요소가 어떻게 운동하는지 기술합니다.
  2. 오일러 관점(Eulerian specification/description/view)
    유체가 분포하는 공산상의 특정 점을 잡고 이 점을 지나는 유체 요소들의 운동을 기술합니다.

정리하자면 라그랑주 관점은 유체 요소를 고정시키고 이 요소가 공간 상의 여러 점들을 어떻게 지나가는지를 보고, 오일러 관점은 공간 상의 점을 고정시키고 이 점을 지나는 여러 유체 요소들을 보게 됩니다.

예를 들어 수도꼭지에서 물이 흘러 나오고 있다고 해봅시다. 수도꼭지에 공급되는 물의 양(및 기타 물의 물리량들)은 시간에 따라 일정합니다. 이때 수도꼭지 아래로 떨어지는 물줄기를 본다면 시간이 지나도 변화가 없겠죠. 즉, 물줄기 내 특정 점을 잡으면 이 점을 지나는 유체 요소들은 항상 같은 물리량을 지니게 됩니다. 따라서 이 유동은 정상 상태(steady-state) 유동입니다. 하지만 물줄기 모양이 변화가 없다고 물이 물줄기 모양대로 모여서 멈춘 건 아니죠. 특정 유체 요소를 잡으면 이 요소는 위에서 아래로 운동하고, 시간에 따라 물리량도 변하게 됩니다.

물질 도함수

위 내용을 종합하면 오일러 관점과 라그랑주 관점에서 물리량의 시간 변화율이 다르다는 결론이 나옵니다. 정상 상태 유동이라면 오일러 관점에선 시간 변화율이 0이지만 라그랑주 관점에선 0이 아니죠. 공간 상에 고정된 점 $\mathbf x$에서 어떤 물리량을 측정했더니 $\phi (\mathbf x, t)$가 나왔다고 해봅시다. 그럼 $\frac{\partial \phi}{\partial t}$는 오일러 관점에서 $\phi$의 시간 변화율이 됩니다. 라그랑주 관점에서 시간 변화율은 물질 도함수(material derivative 또는 substantial derivative)라 하고 $\frac{\mathrm D \phi}{\mathrm D t}$로 표기합니다. 물질 도함수를 오일러 관점에서 시간 및 공간 변화율로 나타내봅시다.

어떤 유체 요소가 시각 $t$일 때 위치 $\mathbf x$에 있다가 시각 $t+\Delta t$일 때 위치 $\mathbf x + \Delta \mathbf x$로 옮겨갔다면 물질 도함수는

\[ \frac{\mathrm D \phi}{\mathrm D t}
= \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\phi(\mathbf x + \Delta \mathbf x, t + \Delta t) – \phi(\mathbf x, t)}{\Delta t} \]

$\phi(\mathbf x + \Delta \mathbf x, t + \Delta t)$를 테일러 전개하면

\[ \begin{align}
\phi(\mathbf x + \Delta \mathbf x, t + \Delta t)
&= \phi(\mathbf x, t) + \Delta \mathbf x \cdot \frac{\partial}{\partial \mathbf x} \phi(\mathbf x, t)
+ \frac{\partial}{\partial t} \phi(\mathbf x, t) \Delta t + \cdots \\
&= \phi(\mathbf x, t) + \Delta \mathbf x \cdot \nabla \phi(\mathbf x, t) + \frac{\partial}{\partial t} \phi(\mathbf x, t) \Delta t + \cdots
\end{align} \]

따라서

\[ \frac{\mathrm D \phi}{\mathrm D t} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \left[ \frac{\partial}{\partial t} \phi(\mathbf x, t)
+ \frac{\Delta \mathbf x}{\Delta t} \cdot \nabla \phi(\mathbf x, t) \right] = \frac{\partial \phi}{\partial t}
+ \mathbf V \cdot \nabla \phi \]

우변의 첫 번째 항은 오일러 관점에서 시간 변화율로, 공간 상에서 이동하지 않고 오로지 시간에 의한 $\phi$ 변화만 측정한다고 하여 국소 도함수(local derivative)라고도 합니다. 두 번째 항은 역으로 공간에 의한 $\phi$ 변화만 측정한다고 하여 대류 도함수(convective derivative)라고 합니다.

레이놀즈 수송정리

못을 생산하는 공장이 있다고 합시다. 아침에 출근하니 공장에 못 100개가 든 상자가 100개 있었습니다. 하루동안 공장에서 못을 생산해서 원래 있던 상자 하나당 10개씩 더 넣었고, 100개들이 상자 5개를 다른 창고에서 가져왔고, 원래 있던 상자 20개를 다른 창고로 내보냈습니다. 퇴근 시간이 되면 공장에 못이 몇개가 남을까요? 단순 산수로 계산하면 (원래 있던 못 100*100개) + (새로 생산한 못 10*100개) + (새로 가져온 상자에 있는 못 5*100개) – (내보낸 상자에 있는 못 20*100개) = 9500개가 됩니다. 공장에 있는 못 개수가 하루동안 500개 감소한 것이죠. 이렇게 말하면 오일러 관점입니다. 못이 움직여도 공장이라는 건 공간 상에 고정된 영역이거든요.

반면에, 원래 있었던 상자 100개에 관심을 가져봅시다. 이 상자들은 처음에 못 10000개를 가지고 있었는데, 상자 하나당 10개씩 더 넣어서 11000개를 가지게 되었습니다. 하루 동안 1000개가 증가한 거죠. 이건 라그랑주 관점이 됩니다. 이때 유체 요소는 상자 각각에 비유할 수 있습니다.

  • 오일러 관점: 하루동안 못 -500개
  • 라그랑주 관점: 하루동안 못 +1000개

이 둘 사이에 관계식을 세워봅시다. 원래 있던 상자들 입장에선 못이 1000개 증가한 것인데, 공장 입장에서는 거기에다가 새로 가져온 상자에 못 500개, 내보낸 못 2000개를 합해서 1000 + 500 – 2000 = -500개 증가가 됩니다. 즉,

(원래 있던 상자들의 못 변화량 = 라그랑주 관점에서 못 변화량 = 1000) – (공장 밖으로 나간 못의 총합 = 1500)
= (공장의 못 변화량 = 오일러 관점에서 못 변화량 = -500)

또는

(라그랑주 관점에서 못 변화량) = (오일러 관점에서 못 변화량) + (하루동안 공장 밖으로 나간 못의 총합)

이게 바로 레이놀즈 수송정리입니다.

 

유체역학으로 돌아와서 수식으로 써봅시다. 먼저 공간 상에 고정된 영역을 잡읍시다. 이를 검사체적(control volume)이라 하고, 위에서는 공장이 됩니다. 초기에 검사체적에 들어 있던 유체요소를 생각하고, 이들이 가지는 어떤 물리량 $B$의 총 합을 $B_\textrm{sys}$라고 합시다. 위에서는 못 상자가 유체 요소에 해당하고 물리량 $B$는 상자에 든 못의 개수, $B_\textrm{sys}$는 원래 있던 상자 100개에 든 못의 총 개수입니다. 라그랑주 관점에서 하루동안 못 변화량은 $B_\textrm{sys}$의 시간 변화율로 나타낼 수 있습니다. 물질 도함수라는 데 주의합시다!

(라그랑주 관점에서 못 변화량) = $\displaystyle\frac{\mathrm D B_\textrm{sys}}{\mathrm D t}$

오일러 관점에서 하루동안 못 변화량은 공장에 있는 못의 시간 변화율로 나타낼 수 있습니다. 공장에 있는 못의 총 개수는 상자마다 못 개수를 센 다음 다 더하면 되죠. 유체에서는 적분이 됩니다. (연속적이기 때문에)

(오일러 관점에서 못 변화량) = $\displaystyle \frac{\partial}{\partial t} \iiint\limits_\textrm{CV} \frac{\mathrm d B}{\mathrm d \mathcal V} \mathrm d \mathcal V$

여기서 $\textrm{CV}$는 검사체적입니다. 마지막으로 하루동안 공장 밖으로 나간 못의 총합은 면적분으로 구할 수 있습니다. 검사체적의 아주 작은 표면 요소를 생각하면 이 표면 요소로 단위 시간동안 들어오는 유량은 $\mathbf V \cdot \mathbf n \mathrm d S$입니다. ($\mathbf V$는 속도, $\mathbf n$은 검사체적 바깥 방향으로 표면 요소의 법선 벡터, $\mathrm d S$는 표면 요소의 넓이) 따라서

(하루동안 공장 밖으로 나간 못의 총합) = $\displaystyle \iint\limits_\textrm{CS} \frac{\mathrm d B}{\mathrm d \mathcal V} \mathbf V \cdot \mathbf n \mathrm d S$

여기서 $\textrm{CS}$는 검사체적의 표면입니다. 단위 부피당 $B$ 대신 단위 질량당 $B$가 들어가도록 식을 고쳐쓰면

\[ \frac{\mathrm D B_\textrm{sys}}{\mathrm D t} = \frac{\partial}{\partial t} \iiint\limits_\textrm{CV} \beta \rho \mathrm d \mathcal V + \iint\limits_\textrm{CS} \beta \rho \mathbf V \cdot \mathbf n \mathrm d S \]

$\beta$는 단위 질량당 $B$, $\rho$는 유체의 밀도입니다.