드 가의 정리 (De Gua’s Theorem)

드 가의 정리는 세 면이 직각삼각형이고 세 직각이 한 점에서 모이는 사면체에 대해 네 면의 넓이 관계를 나타내는 정리입니다.

위 사면체 $OABC$는 세 면($OAB$, $OBC$, $OCA$)이 직각삼각형이고 세 직각이 한 점 $O$에서 모입니다. 이 때 직각삼각형인 세 면의 넓이는

\[ \begin{align}
\bigtriangleup OAB &= \frac{1}{2} ab \\
\bigtriangleup OBC &= \frac{1}{2} bc \\
\bigtriangleup OCA &= \frac{1}{2} ca
\end{align} \]

점 $O$에서 $\overline{AB}$에 내린 수선의 발을 $H$라고 하면 삼수선의 정리에 의해 $\overline{CH}$와 $\overline{AB}$는 직교합니다. 삼각형 $OAB$의 넓이 관계로부터

\[ \overline{OH} = \frac{ab}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]

이므로

\[ h = \sqrt{c^2 + \overline{OH}^2} = \frac{\sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2}}{\sqrt{a^2+b^2}} \]

\[ \therefore \quad \bigtriangleup ABC = \frac{1}{2} \overline{AB} h = \frac{1}{2} \sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2} \]

넷의 넓이를 비교하면 다음과 같은 결론을 얻을 수 있습니다.

\[ (\bigtriangleup ABC)^2 = (\bigtriangleup OAB)^2 + (\bigtriangleup OBC)^2 + (\bigtriangleup OCA)^2 \]

즉, 드 가의 정리는 피타고라스 정리를 사면체로 확장한 것으로 볼 수 있겠습니다.

 

내친김에 이면각도 구해봅시다. 평면 $ABC$와 평면 $OAB$ 사이 이면각을 $\theta_1$라 하면

\[ \cos \theta_1 = \frac{\bigtriangleup OAB}{\bigtriangleup ABC} = \frac{ab}{\sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2}} \]

마찬가지로 평면 $ABC$와 평면 $OBC$ 사이 이면각을 $\theta_2$, 평면 $ABC$와 평면 $OCA$ 사이 이면각을 $\theta_3$라 하면

\[ \begin{align}
\cos \theta_2 &= \frac{bc}{\sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2}} \\
\cos \theta_3 &= \frac{ca}{\sqrt{a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2}}
\end{align} \]