[공기역학] 퍼텐셜 유동의 일반해

지배 방정식과 경계 조건

퍼텐셜 유동의 변수는 딱 하나입니다. 바로 속도 퍼텐셜이죠. $\mathbf V=\nabla\phi$이기 때문에 속도 퍼텐셜만 알아도 속도장을 알 수 있고, 운동량 방정식에 넣으면 압력도 구할 수 있습니다. 여기다 비압축성 조건도 추가하면 비압축성 연속 방정식에 의해

\[ \nabla\cdot\mathbf V = \nabla\cdot\nabla\phi = \nabla^2\phi = 0 \]

이 되어 속도 퍼텐셜이 라플라스 방정식을 만족한다는 결론이 나옵니다. 따라서 라플라스 방정식은 비압축성 퍼텐셜 유동의 지배 방정식입니다.

경계 조건은 별 거 없습니다. 그냥 속도장을 모두 속도 퍼텐셜로 바꿔주면 되죠. 벽의 단위 법선 벡터를 $\mathbf n$이라 하면 유동 접선 조건은

\[ \mathbf V \cdot \mathbf n = \nabla\phi \cdot \mathbf n = \frac{\partial\phi}{\partial n} = 0 \]

이고, 원거리장 조건은

\[ \lim_{r\rightarrow\infty}\nabla\phi = \mathbf V_\infty \]

가 됩니다. 그림으로 나타내면 아래와 같습니다. 유동은 영역 $D$ 내에서 흐르고, $D$의 경계로는 원거리장 조건이 적용되는 $S_\infty$와 유동 접선 조건이 적용되는 물체 표면 $S_B$가 있습니다. 그림에선 $S_\infty$를 좁은 영역으로 그려놨는데, 실제로는 물체($S_B$)와 무한히 멀리 떨어져 있습니다.

제2 그린 항등식

라플라스 방정식은 크게 어렵지 않은 방정식이기 때문에 일반해를 구할 수 있습니다. 먼저 일반해를 유도할 때 필요한 항등식 하나를 봅시다. 영역 $D$ 위에서 정의되는 임의의 스칼라 함수 $f$와 $g$에 대해 발산 정리에 $f\nabla g-g\nabla f$을 대입하면

\[ \begin{align}
\iint_\limits{S_\infty+S_B} (f\nabla g-g\nabla f)\cdot\mathbf n\mathrm dS
&= \iiint_\limits{D} \nabla\cdot (f\nabla g-g\nabla f) \mathrm d\mathcal V \\
&= \iiint_\limits{D} (\nabla f\cdot\nabla g+f\nabla^2 g
-\nabla g\cdot\nabla f-g\nabla^2 f)\mathrm d\mathcal V \\
&= \iiint_\limits{D} (f\nabla^2 g-g\nabla^2 f)\mathrm d\mathcal V
\end{align} \]

이 식을 제2 그린 항등식(Green’s second identity)이라고 합니다.

3차원 퍼텐셜 유동의 일반해

제2 그린 항등식에서 $f=\frac{1}{r}$, $g=\phi$를 대입합니다.

\[ \iint_\limits{S_\infty+S_B} \left(\frac{1}{r}\nabla\phi-\phi\nabla\frac{1}{r}\right)\cdot\mathbf n\mathrm dS
= \iiint_\limits{D} \left(\frac{1}{r}\nabla^2\phi-\phi\nabla^2\frac{1}{r}\right)\mathrm d\mathcal V \]

만약 원점($r=0$)이 $D$ 바깥에 있다면 적분 영역 전체에서 $r\neq0$이므로 적분이 잘 정의됩니다. $\nabla^2\phi=0$이고 $\nabla^2\frac{1}{r}=0$이므로 위 식의 우변은 0이 됩니다.

\[ \iint_\limits{S_\infty+S_B} \left(\frac{1}{r}\nabla\phi-\phi\nabla\frac{1}{r}\right)\cdot\mathbf n\mathrm dS = 0 \]

반면에 원점이 $D$ 안에 있으면 원점에서는 $\frac{1}{r}$이 정의되지 않으므로 골치 아파집니다. 이걸 해결하기 위해 $D$에다 원점을 중심으로 한 반지름 $\varepsilon$짜리 구만큼 구멍을 내봅시다. 이때 $D$의 경계엔 원래의 $S_\infty$와 $S_B$에 더해서 구의 표면 $S_\varepsilon$이 추가됩니다.

이제 원점이 $D$ 밖에 있으므로

\[ \begin{align}
&\iint_\limits{S_\infty+S_B+S_\varepsilon} \left(\frac{1}{r}\nabla\phi-\phi\nabla\frac{1}{r}\right)\cdot\mathbf n\mathrm dS \\
&\qquad=\iint_\limits{S_\varepsilon} \left(\frac{1}{r}\nabla\phi-\phi\nabla\frac{1}{r}\right)\cdot\mathbf n\mathrm dS
+\iint_\limits{S_\infty+S_B} \left(\frac{1}{r}\nabla\phi-\phi\nabla\frac{1}{r}\right)\cdot\mathbf n\mathrm dS \\
&\qquad= 0
\end{align} \]

$S_\varepsilon$ 위에서 $\mathbf n=-\mathbf e_r$이므로 $\nabla\phi\cdot\mathbf n=-\partial\phi/\partial r$, $\nabla\frac{1}{r}\cdot\mathbf n=-\frac{\partial}{\partial r}(\frac{1}{r})=1/r^2$이고, 따라서

\[ -\iint_\limits{S_\varepsilon}\left(\frac{1}{r}\frac{\partial\phi}{\partial r}+\frac{\phi}{r^2}\right)\mathrm dS
+\iint_\limits{S_\infty+S_B} \left(\frac{1}{r}\nabla\phi-\phi\nabla\frac{1}{r}\right)\cdot\mathbf n\mathrm dS = 0 \]

그리고 $S_\varepsilon$ 위에선 $r=\varepsilon$이니까

\[ -\iint_\limits{S_\varepsilon}\left(\frac{1}{\varepsilon}\frac{\partial\phi}{\partial r}+\frac{\phi}{\varepsilon^2}\right)\mathrm dS
+\iint_\limits{S_\infty+S_B} \left(\frac{1}{r}\nabla\phi-\phi\nabla\frac{1}{r}\right)\cdot\mathbf n\mathrm dS = 0 \]

여기서 극한 $\varepsilon\rightarrow0$을 취해봅시다. $\phi$가 미분 가능하면 $\phi$는 원점 주변의 좁은 공간에서 선형 함수로 근사할 수 있습니다. 대충 $\phi=ax+by+cz+d$ 정도로 두고 계산하면 아래 결과를 얻습니다.

\[ \lim_{\varepsilon\rightarrow0} \iint_\limits{S_\varepsilon} \frac{1}{\varepsilon} \frac{\partial\phi}{\partial r}\mathrm dS = 0 \]

또한 $\varepsilon\rightarrow0$일 때 $\phi\rightarrow\phi(O)$이고 구의 표면적은 $4\pi\varepsilon^2$이므로

\[ \lim_{\varepsilon\rightarrow0} \iint_\limits{S_\varepsilon} \frac{\phi}{\varepsilon^2} \mathrm dS = 4\pi\phi(O) \]

이를 위 식에 대입하면 $S_\infty$와 $S_B$에서 $\phi$와 $\partial\phi/\partial n$을 알 때 원점에서 $\phi$의 값을 구할 수 있는 공식을 얻습니다. $\phi$를 구하고 싶은 점이 원점이 아니라면 그 점이 원점이 되도록 평행이동 해주면 되겠죠. 결론적으로 이 공식을 쓰면 임의의 점에서 $\phi$를 구할 수 있습니다. 방정식을 푼 셈이죠.

\[ \phi(O) = \frac{1}{4\pi}\iint_\limits{S_\infty+S_B} \left(\frac{1}{r}\nabla\phi-\phi\nabla\frac{1}{r}\right)\cdot\mathbf n\mathrm dS \]

예제 1) 영역 $D=\{(r, \theta, \phi)|r\le 2\}$ 내부에 퍼텐셜 유동이 흐르고 있다. $D$의 경계에서 속도 퍼텐셜 $\phi$가 $\phi=12\cos^2\theta+4\cos\theta+1$, $\frac{\partial\phi}{\partial r}=12\cos^2\theta+2\cos\theta-4$를 만족할 때, 원점에서 속도 퍼텐셜을 구하여라.

풀이) 위 식을 바로 쓰면 됩니다.

\[ \begin{align}
\phi(O)
&=\frac{1}{4\pi}\iint_\limits{\partial D} \left(
\frac{1}{r}\nabla\phi-\phi\nabla\frac{1}{r}
\right)\cdot\mathbf n\mathrm dS \\
&=\frac{1}{4\pi}\iint_\limits{\partial D} \left(
\frac{1}{r}\frac{\partial\phi}{\partial r}+\frac{\phi}{r^2}
\right) \mathrm dS \qquad (\because \mathbf n = \mathbf e_r) \\
&=\frac{1}{4\pi}\int_0^{2\pi}\int_0^\pi \left[
\frac{1}{2}(12\cos^2\theta+2\cos\theta-4)+\frac{1}{4}(12\cos^2\theta+4\cos\theta+1)
\right] \cdot 4\sin\theta\mathrm d\theta\mathrm d\phi \\
&=\frac{1}{4\pi}\int_0^{2\pi}\int_0^\pi \left(
36\cos^2\theta+8\cos\theta-7
\right) \sin\theta\mathrm d\theta\mathrm d\phi \\
&=5
\end{align} \]

참고로 경계에서 주어진 $\phi$를 이용해 라플라스 방정식을 제대로 풀면 $\phi=r^2(3\cos^2\theta-1)+2r\cos\theta+5$가 나옵니다. 결과는 동일합니다. ■

그런데 위에서 말한 퍼텐셜 유동의 두 경계조건은 $S_\infty$와 $S_B$에서 $\partial\phi/\partial n$만 가르쳐줄 뿐 $\phi$는 알 수 없다는 문제가 생깁니다. 즉, 퍼텐셜 유동은 경계조건이 부족하기 때문에 사실 무한히 많은 답이 나올 수 있습니다. 만약 유일한 정답을 원한다면 $S_\infty$와 $S_B$에서 $\phi$의 값을 정해줘야죠.

속도 퍼텐셜을 영역 $D$ 내부뿐만 아니라 $S_B$로 둘러싸인 영역(아래 그림에서 회색 영역)에서도 정의합시다. 구분을 위해 이 퍼텐셜은 $\phi_i$라고 부르겠습니다. 우리는 지금 원점이 영역 $D$ 내부에 있는 경우를 다루기 때문에 역으로 원점은 $S_B$로 둘러싸인 영역 외부에 존재합니다.

따라서,

\[ \iint_\limits{S_B} \left(\frac{1}{r}\nabla\phi_i-\phi_i\nabla\frac{1}{r}\right)\cdot\mathbf n\mathrm dS = 0 \]

이걸 $\phi(O)$를 구하는 공식에서 빼봅시다.

\[ \begin{align}
\phi(O)
&=\frac{1}{4\pi}\iint_\limits{S_\infty+S_B} \left(\frac{1}{r}\nabla\phi-\phi\nabla\frac{1}{r}\right)\cdot\mathbf n\mathrm dS-\frac{1}{4\pi} \iint_\limits{S_B} \left(\frac{1}{r}\nabla\phi_i-\phi_i\nabla\frac{1}{r}\right)\cdot\mathbf n\mathrm dS \\
&=\frac{1}{4\pi}\iint_\limits{S_B} \left[
\frac{1}{r}\nabla(\phi-\phi_i)-(\phi-\phi_i)\nabla\frac{1}{r}
\right] \cdot \mathbf n\mathrm dS
+\frac{1}{4\pi} \iint_\limits{S_\infty} \left(\frac{1}{r}\nabla\phi-\phi\nabla\frac{1}{r}\right)\cdot\mathbf n\mathrm dS \\
&=\frac{1}{4\pi}\iint_\limits{S_B} \left[
\frac{1}{r}\left(\frac{\partial\phi}{\partial n}-\frac{\partial\phi_i}{\partial n}\right)-(\phi-\phi_i)\frac{\partial}{\partial n}\left(\frac{1}{r}\right)
\right] \mathrm dS
+\frac{1}{4\pi} \iint_\limits{S_\infty} \left(\frac{1}{r}\nabla\phi-\phi\nabla\frac{1}{r}\right)\cdot\mathbf n\mathrm dS
\end{align} \]

$S_B$ 위에서 함수 $\sigma$와 $\mu$를 다음과 같이 정의합시다.

\[ \begin{align}
\sigma &= \frac{\partial\phi_i}{\partial n}-\frac{\partial\phi}{\partial n} \\
\mu &= \phi_i-\phi
\end{align} \]

대입하면

\[ \phi(O)
=-\frac{1}{4\pi}\iint_\limits{S_B} \left[
\frac{\sigma}{r}-\mu\frac{\partial}{\partial n}\left(\frac{1}{r}\right)
\right] \mathrm dS
+\frac{1}{4\pi} \iint_\limits{S_\infty} \left(\frac{1}{r}\nabla\phi-\phi\nabla\frac{1}{r}\right)\cdot\mathbf n\mathrm dS \]

여기서 원점 $O$가 물체 $S_B$에서 멀리 떨어져 $S_\infty$에 가까워지면 $S_B$ 상에서는 $\frac{1}{r}$이 0에 가까우므로 우변의 첫 번째 항은 0이 되고 두 번째 항만 남습니다. 따라서 $S_\infty$ 상에서 속도 퍼텐셜 $\phi_\infty$는

\[ \phi_\infty = \iint_\limits{S_\infty} \left(\frac{1}{r}\nabla\phi-\phi\nabla\frac{1}{r}\right)\cdot\mathbf n\mathrm dS \]

원거리장 조건에 의해 $\phi_\infty$는 $\nabla\phi_\infty = \mathbf V_\infty$를 만족해야 합니다. 최종적으로 속도 퍼텐셜은

\[ \phi(O)
=-\frac{1}{4\pi}\iint_\limits{S_B} \left[
\frac{\sigma}{r}-\mu\frac{\partial}{\partial n}\left(\frac{1}{r}\right)
\right] \mathrm dS + \phi_\infty(O) \]

위 식은 아주 중요한 의미를 담고 있습니다. 바로 $\sigma$와 $\mu$의 강도를 정해주어 원하는 속도 퍼텐셜을 구할 수 있다는 것입니다. 물론 그 속도 퍼텐셜은 $S_B$에서 유동 접선 조건을 만족해야겠죠.

요약하자면 물체의 형상과 배치, 자유흐름이 주어질 때 물체 주위를 흐르는 비압축성 퍼텐셜 유동은 다음과 같은 순서로 구할 수 있습니다.

  1. $\nabla\phi_\infty=\mathbf V_\infty$를 만족하는 $\phi_\infty$를 구합니다.
  2. 물체 표면에서 유동 접선 조건을 만족하도록 $\sigma$와 $\mu$를 적절히 정합니다. 앞에서 말했듯이 유동 접선 조건을 만족하는 해는 무수히 많으므로 $\sigma$와 $\mu$도 얼마든지 마음대로 정할 수 있게 됩니다. 보통은 추가적인 조건(유동이 대칭이어야 한다 등)을 도입하여 유일한 해가 나오도록 합니다.
  3. $\phi$를 계산합니다.

2차원 퍼텐셜 유동의 일반해

별 건 없고, 그냥 3차원에서 일반해를 구할 때와 똑같이 하되 $\frac{1}{r}$ 대신 $\ln r$을 써주면 됩니다.

\[ \phi(O)
=\frac{1}{2\pi}\int_\limits{S_B} \left[
\sigma\ln r-\mu\frac{\partial}{\partial n}(\ln r)
\right] \mathrm dS + \phi_\infty(O) \]