[공기역학] 왜 퍼텐셜 유동인가?

퍼텐셜 유동, 즉 비회전 유동을 소개할 때 퍼텐셜 유동의 물리적 의미를 소개했었습니다. 비압축성 퍼텐셜 유동은 비압축성 비점성 유동으로 취급 가능하다는 점이죠. 그런데, 비점성 유동이란 게 현실에서 존재하는 걸까요? 물론 ‘초유동체‘ 같이 정말로 점성이 없는 유체가 존재하지만, 이건 굉장히 특이한 경우고 실제로 우리가 유체역학에서 다루는 물, 공기와 같은 유체들은 점성이 분명히 존재합니다. 그렇다면, 대체 왜 비점성 같은 특수한 조건을 도입한 걸까요?

이에 대한 해답은 무차원 운동량 방정식에서 찾을 수 있습니다.

\[ \frac{\mathrm D\mathbf V^*}{\mathrm Dt^*}
=\frac{1}{\mathrm{Fr}^2}\rho^*\mathbf g^*
-\nabla^*p^*
+\frac{1}{\mathrm{Re}}\nabla^{*2}\mathbf V^*
+\frac{1}{3\mathrm{Re}}\nabla^*(\nabla^*\cdot\mathbf V^*) \]

해수면 대기(15℃)를 기준으로 하면 공기의 밀도는 1.225 kg/m³, 점성은 1.81×10⁻⁵ Pa·s입니다. 자유 흐름의 유속을 어림잡아 1 m/s, 기준 길이를 1 m로 두면 레이놀즈 수는

\[ \mathrm{Re} = \frac{\rho V_\infty L}{\mu}
= \frac{(1.225 \ \mathrm{kg/m}^3)(1 \ \mathrm{m/s})
(1 \ \mathrm{m})}{1.81\times10^{-5} \ \mathrm{Pa\cdot s}}
\approx 6.77\times10^4 \]

입니다. 보통 비행기는 1 m/s보다 훨씬 빠르고 크기도 1 m보다 훨씬 크니 레이놀즈 수가 백만을 넘는 경우가 허다합니다. 결론적으로, 레이놀즈 수는 매우 크기 때문에 무차원 운동량 방정식에서 레이놀즈 수의 역수를 포함하는 제일 뒤 두 항, 즉 점성항을 무시할 수 있습니다. 이것이 레이놀즈 수가 큰 비압축성 유동을 비압축성 퍼텐셜 유동으로 풀어도 유동이 얼추 비슷하게 나오는 이유입니다.

한 가지 주의할 점은, 레이놀즈 수가 큰 비압축성 유동이든, 비압축성 퍼텐셜 유동이든 “비점성 유동이랑 유동이 비슷하게 생겼다”지 완전 비점성 유동은 아닙니다. 식은 똑같아도 경계 조건이 다르거든요. 비점성 유동은 물체 표면에서 표면에 수직한 속도 성분만 0이면 되지만 점성 유동은 물체 표면에서 모든 속도 성분이 0이어야 합니다. 그래서 물체 표면 부근에서만 비점성 유동을 잠시 접어두고 점성 유동으로 취급해야 합니다. 이 영역이 바로 경계층(boundary layer)입니다.

따라서 레이놀즈 수가 높은 비압축성 유동을 해석하는 절차는 다음과 같습니다.

  1. 완전한 비압축성 비점성 퍼텐셜 유동을 가정하고 유동을 풀어 물체 표면에서 속도 분포를 구합니다.
  2. 위에서 구한 속도 분포를 가지고 경계층을 해석합니다.

당분간은 1번에 집중하고, 2번은 추후에 점성 유동에서 다루겠습니다. 그리고 편의상 퍼텐셜 유동이라 하면 비압축성 비점성 퍼텐셜 유동을 의미하는 걸로 합시다.