[공기역학] 와도-유선 함수 공식(Vorticity-Stream Function Formulation)

앞에서 와류 수송 방정식을 설명할 때 2차원 유동에서 와도가

\[ \boldsymbol\omega = \left(0,0,\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right) \]

라고 했죠. 즉, 와도의 $z$ 성분만 남습니다. 그래서 2차원 유동에서 와도라고 하면 흔히 와도 벡터의 $z$ 성분만을 말합니다.

\[ \omega=\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y} \]

여기에 유선 함수의 정의를 넣으면 유선 함수와 와도 사이 관계식이 하나 나옵니다.

\[ \omega=\frac{\partial}{\partial x}\left(-\frac{\partial\psi}{\partial x}\right)
-\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial\psi}{\partial y}\right)
=-\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}-\frac{\partial^2\psi}{\partial y^2}
=-\nabla^2\psi \]

그리고 2차원 와도 수송 방정식에 유선 함수를 넣으면 관계식이 하나 더 나옵니다.

\[ \begin{align}
&\frac{\mathrm D\omega}{\mathrm Dt}
=\frac{\partial\omega}{\partial t}+u\frac{\partial\omega}{\partial x}
+v\frac{\partial\omega}{\partial y}=\nu\nabla^2\omega \\
\Rightarrow\quad&
\frac{\partial\omega}{\partial t}+\frac{\partial\psi}{\partial y}\frac{\partial\omega}{\partial x}
-\frac{\partial\psi}{\partial x}\frac{\partial\omega}{\partial y}
=\nu\left(\frac{\partial^2\omega}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\omega}{\partial y^2}\right)
\end{align} \]

변수가 $\psi$, $\omega$ 두 개고 식도 두 개니 연립하면 $\psi$와 $\omega$를 구할 수 있습니다. 이 연립 방정식을 와도-유선 함수 공식(vorticity-stream function formulation)이라 하고 전산유체역학에서 2차원 비압축성 유동을 풀 때 자주 사용합니다.