[공기역학] 와도 수송 방정식(Vorticity Transport Equation)

비압축성 유체에 체적력으로 보존력이 작용하는 경우를 생각해봅시다. 운동량 방정식

\[ \frac{\mathrm D\mathbf V}{\mathrm Dt}=\mathbf g-\frac{1}{\rho}\nabla p+\nu\nabla^2\mathbf V \]

의 양변에 회전을 취하면

\[ \begin{align}
&\nabla\times\frac{\mathrm D\mathbf V}{\mathrm Dt}=\underbrace{\nabla\times\mathbf g}_{=0}
-\frac{1}{\rho}\underbrace{\nabla\times\nabla p}_{=0}
+\nu\nabla\times(\nabla^2\mathbf V) \\
\Rightarrow\quad&
\nabla\times\frac{\mathrm D\mathbf V}{\mathrm Dt}= \nu\nabla\times(\nabla^2\mathbf V)
\end{align} \]

여기서부터 정말 지루한 벡터 미적분학을 열심히 씁니다. 일단 물질 도함수를 전개하고

\[ \nabla^2\mathbf V = \nabla(\underbrace{\nabla\cdot\mathbf V}_{=0})
-\nabla\times(\nabla\times\mathbf V)
=-\nabla\times\boldsymbol\omega \]

를 대입하면

\[ \nabla\times\left(\frac{\partial\mathbf V}{\partial t}+\mathbf V\times\nabla\mathbf V\right)
=-\nu\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol\omega) \]

그 다음 대입할 건 좀 많습니다.

\[ \begin{align}
\nabla\times\frac{\partial\mathbf V}{\partial t}&=\frac{\partial}{\partial t}(\nabla\times\mathbf V)
=\frac{\partial\boldsymbol\omega}{\partial t} \\
\nabla\times(\mathbf V\times\nabla\mathbf V)
&=\nabla\times\left[\frac{1}{2}\nabla(\mathbf V\cdot\mathbf V)
-\mathbf V\times(\nabla\times\mathbf V)\right] \\
&=-\nabla\times(\mathbf V\times\boldsymbol\omega) \\
&=-\boldsymbol\omega\cdot\nabla\mathbf V
+(\underbrace{\nabla\cdot\mathbf V}_{=0})\boldsymbol\omega
-(\underbrace{\nabla\cdot\boldsymbol\omega}_{=0})\mathbf V
+\mathbf V\cdot\nabla\boldsymbol\omega \\
&=\mathbf V\cdot\nabla\boldsymbol\omega-\boldsymbol\omega\cdot\nabla\mathbf V \\
\nabla^2\boldsymbol\omega&=\nabla(\underbrace{\nabla\cdot\boldsymbol\omega}_{=0})
-\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol\omega) \\
&=-\nabla\times(\nabla\times\boldsymbol\omega)
\end{align} \]

따라서

\[ \begin{align}
&\frac{\partial\boldsymbol\omega}{\partial t}
+\mathbf V\cdot\nabla\boldsymbol\omega-\boldsymbol\omega\cdot\nabla\mathbf V
=\nu\nabla^2\boldsymbol\omega \\
\Rightarrow\quad&
\frac{\mathrm D\boldsymbol\omega}{\mathrm Dt}=\boldsymbol\omega\cdot\nabla\mathbf V
+\nu\nabla^2\boldsymbol\omega
\end{align} \]

이 방정식을 와도 수송 방정식(vorticity transport equation)이라고 합니다. 좌변은 와도의 물질 도함수, 우변 첫 번째 항은 와류 신장(vortex stretching), 우변 두 번째 항은 점성에 의한 와도의 확산을 나타냅니다.

와류 신장은 속도 기울기에 의해 와류, 즉 소용돌이가 늘어나고 줄어드는 현상입니다. 아래 그림으로 보면 명확합니다. 좁아지는 곳에서 유속이 빨라지면서 와도의 크기와 방향이 변하는 거죠.

당연하지만 와류 신장은 3차원 유동 현상이기 때문에 2차원 유동에서는 일어날 수 없습니다. 실제로 2차원 유동에서는

\[ \boldsymbol\omega=\left(\frac{\partial w}{\partial y}-\frac{\partial v}{\partial z},
\frac{\partial u}{\partial z}-\frac{\partial w}{\partial x},
\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)
=\left(0,0, \frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right) \]

이므로 와류 신장 항을 계산해보면

\[ \boldsymbol\omega\cdot\nabla\mathbf V
=\underbrace{\omega_x}_{=0}\frac{\partial\mathbf V}{\partial x}
+\underbrace{\omega_y}_{=0}\frac{\partial\mathbf V}{\partial y}
+\omega_z\underbrace{\frac{\partial\mathbf V}{\partial z}}_{=0}
=0 \]

입니다.