[공기역학] 동점성과 열확산율의 물리적 의미

동점성의 물리적 의미

다음과 같은 2차원 유동 문제를 생각해봅시다.

예제 1) 영역 $y>0$에 비압축성 유체가 가득 차 있고, $y=0$은 벽으로 막혀있다. 처음에는 벽과 유체 모두 정지해있었지만, 시각 $t=0$에 벽이 갑자기 $+x$ 방향으로 속력 $U$로 움직이기 시작했다. 이때 속도장을 구하여라. 단, 체적력은 무시하고 속도장은 $y$ 좌표와 시각만의 함수로 가정할 수 있으며 압력은 위치와 시각에 관계없이 항상 일정하다.

이 문제를 스토크스의 첫 번째 문제(Stokes’ first problem)라고 합니다.

풀이) 먼저 경계조건은

\[ \begin{align}
&u(y, 0) = v(y, 0) = 0 \\
&u(0, t) = U, \ v(0, t) = 0 \\
&u(\infty, t) = v(\infty, t) = 0
\end{align} \]

첫 번째 줄은 초기 조건, 두 번째 줄은 벽에서의 점착 조건, 세 번째 줄은 원거리장 조건입니다. 이제 비압축성 연속 방정식부터 풀어나갑니다.

\[ \require{cancel}
\cancelto{0}{\frac{\partial u}{\partial x}} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0
\qquad\Rightarrow\qquad
\frac{\partial v}{\partial y} = 0
\]

그런데 문제 가정에 의해 또 $\partial v/\partial x = 0$이므로 $v=v(t)$여야 합니다. 경계 조건에서 $v(0, t) = v(\infty, t) = 0$이므로 $v(t)=0$입니다. 따라서 $x$ 방향 비압축성 운동량 방정식은

\[ \require{cancel}
\frac{\partial u}{\partial t} + u\cancelto{0}{\frac{\partial u}{\partial x}}
+ \cancelto{0}{v}\frac{\partial u}{\partial y} = \cancelto{0}{g_x}
-\frac{1}{\rho}\cancelto{0}{\frac{\partial p}{\partial x}}
+\nu\bigg(\cancelto{0}{\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\bigg)
\]

\[ \therefore \frac{\partial u}{\partial t} = \nu\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \]

이제 이 편미분방정식을 잘 풀면 됩니다.

…문제는 이게 좀 어렵습니다. 그래서 편미분방정식 대신 상미분방정식으로 바꿀 겁니다. 지금 $u$가 $y$와 $t$의 함수인데, 버킹엄 파이 정리를 써서 $u$를 1변수 함수로 만들 수 있습니다. 핵심 아이디어는 $u$가 $U$에 비례한다는 가설을 세우는 겁니다. 즉, $u/U$가 $U$의 함수가 아니란 거죠. 생각해보면 매우 합리적인 가설입니다. 따라서

\[ \frac{u}{U} = f(\nu, y, t) \]

버킹엄 파이 정리를 쓰면

\[ \frac{u}{U} = f\left(\frac{y}{\sqrt{\nu t}}\right) \]

$f=u/U$, $\eta=y/\sqrt{\nu t}$로 정의한 다음 위 편미분방정식을 무차원화합시다.

\[ \begin{align}
\frac{\partial u}{\partial t} &= U\frac{\partial\eta}{\partial t}\frac{\mathrm df}{\mathrm d\eta}
= -\frac{yU}{2\sqrt{\nu t^3}}\frac{\mathrm df}{\mathrm d\eta}
= -\frac{\eta U}{2t}\frac{\mathrm df}{\mathrm d\eta} \\
\frac{\partial u}{\partial y} &= U\frac{\partial\eta}{\partial y}\frac{\mathrm df}{\mathrm d\eta}
= \frac{U}{\sqrt{\nu t}}\frac{\mathrm df}{\mathrm d\eta} \\
\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} &= \frac{\partial\eta}{\partial y}\frac{\partial}{\partial\eta}
\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)
=\frac{U}{\nu t}\frac{\mathrm d^2f}{\mathrm d\eta^2}
\end{align} \]

\[ \begin{align}
\frac{\partial u}{\partial t} = \nu\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}
&\qquad\Rightarrow\qquad
-\frac{\eta U}{2t}\frac{\mathrm df}{\mathrm d\eta}
=\nu\frac{U}{\nu t}\frac{\mathrm d^2f}{\mathrm d\eta^2} \\
&\qquad\Rightarrow\qquad
\frac{\mathrm d^2f}{\mathrm d\eta^2} + \frac{\eta}{2} \frac{\mathrm df}{\mathrm d\eta} = 0
\end{align} \]

일단 방정식 자체는 상미분방정식으로 잘 변환됐습니다. 경계 조건은 어떨까요?

\[ \begin{align}
u(y, 0) &= 0 & \Rightarrow&& f(\infty) &= 0 \\
u(0, t) &= U & \Rightarrow&& f(0) &= 1 \\
u(\infty, t) &= 0 & \Rightarrow&& f(\infty) &= 0
\end{align} \]

2계 상미분방정식은 경계 조건도 두 개가 필요하죠. 다행히 경계 조건이 세 개에서 두 개로 잘 변환됐습니다. 따라서 이 무차원화는 타당한 방식입니다. 최종적으로 상미분방정식을 풀면

\[ \begin{align}
&\frac{\mathrm d^2f}{\mathrm d\eta^2} + \frac{\eta}{2} \frac{\mathrm df}{\mathrm d\eta} = 0 &
&\Rightarrow&
&\frac{\mathrm df’}{\mathrm d\eta}=-\frac{\eta}{2}f’ && \\
&&&\Rightarrow&
&\frac{\mathrm df’}{f’}=-\frac{\eta}{2}\mathrm d\eta &&\\
&&&\Rightarrow&
&\ln f’=-\frac{\eta^2}{4}+C &&\\
&&&\Rightarrow&
&f’=A e^{-(\eta/2)^2} && (A = e^C) \\
&&&\Rightarrow&
&\int_1^f \mathrm df=A\int_0^\eta e^{-(\eta/2)^2} \mathrm d\eta && (\because f(0)=1) \\
&&&\Rightarrow&
&f=A\sqrt\pi\mathrm{erf}\left(\frac{\eta}{2}\right)+1 &&
\leftarrow f(\infty)=0 \\
&&&\Rightarrow&
&f=1-\mathrm{erf}\left(\frac{\eta}{2}\right)=\mathrm{erfc}\left(\frac{\eta}{2}\right)
&&
\end{align} \]

이로부터 알 수 있는 사실은 다음과 같습니다.

  • $\eta\ge0$이므로 $0\le\mathrm{erfc}(\eta/2)\le1$이고 $0\le u\le U$입니다. 꽤나 당연하네요.
  • $y$가 클수록, $\nu$가 작을수록, $t$가 작을수록 $u$는 0에 더 가깝습니다.
  • $y$가 작을수록, $\nu$가 클수록, $t$가 클수록 $u$는 $U$에 더 가깝습니다.
  • (중요) 같은 시각, 같은 위치라면 $\nu$가 클수록 $u$가 $U$에 더 가깝습니다. 즉, $\nu$가 큰 경우는 $\nu$가 작은 경우에 비해 유체의 속력이 전체적으로 더 빨리 증가합니다. 이렇게 속력이 증가하는 과정은 다르게 표현하면 벽이 가지고 있던 운동량이 $+y$ 방향으로 확산되는 과정이라 할 수 있고, $\nu$는 이 확산 속도를 결정하는 변수입니다. 이 때문에 동점성 $\nu$를 다른 말로 운동량확산율(momentum diffusivity)이라고도 부릅니다.

열확산율의 물리적 의미

위와 비슷한 2차원 열전달 문제를 생각해봅시다.

예제 2) 영역 $y>0$에 비압축성 유체가 가득 차 있고, $y=0$은 벽으로 막혀있다. 처음에는 벽과 유체 모두 온도가 $T_1$이었지만, 시각 $t=0$에 벽이 갑자기 온도 $T_2(>T_1)$로 가열되었다. 이때 온도장을 구하여라. 단, 온도장은 $y$ 좌표와 시각만의 함수로 가정할 수 있으며 압력은 위치와 시각에 관계없이 항상 일정하다.

풀이) 먼저 경계 조건은

\[ \begin{align}
T(y,0) &= T_1 \\
T(0,t) &= T_2 \\
T(\infty,0) &= T_1
\end{align} \]

그리고 이 문제의 지배방정식은 앞에서 다룬 열 방정식입니다.

\[ \require{cancel} \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha\bigg(\cancelto{0}{\frac{\partial^2 T}{\partial x^2}}+\frac{\partial^2 T}{\partial y^2}\bigg) = \alpha\frac{\partial^2 T}{\partial y^2} \]

지금 보니 예제 1과 방정식이 똑같은 형태입니다. 풀이도 비슷합니다. $\Theta=(T-T_1)/(T_2-T_1)$, $\eta=y/\sqrt{\alpha t}$로 무차원화합시다.

\[ \begin{align}
\frac{\partial T}{\partial t} &= \Delta T\frac{\partial\eta}{\partial t}\frac{\mathrm d\Theta}{\mathrm d\eta}
=-\frac{y\Delta T}{2\sqrt{\alpha t^3}}\frac{\mathrm d\Theta}{\mathrm d\eta}
=-\frac{\eta\Delta T}{2t}\frac{\mathrm d\Theta}{\mathrm d\eta} \\
\frac{\partial T}{\partial y} &= \Delta T\frac{\partial\eta}{\partial y}\frac{\mathrm d\Theta}{\mathrm d\eta}
=\frac{\Delta T}{\sqrt{\alpha t}}\frac{\mathrm d\Theta}{\mathrm d\eta} \\
\frac{\partial^2 T}{\partial y^2} &= \frac{\partial\eta}{\partial y}\frac{\partial}{\partial\eta}
\left(\frac{\partial T}{\partial y}\right)=\frac{\Delta T}{\alpha t}\frac{\mathrm d^2\Theta}{\mathrm d\eta^2}
\end{align} \]

여기서 $\Delta T=T_2-T_1$이고, 최종적으로 열 방정식은

\[ \frac{\mathrm d^2\Theta}{\mathrm d\eta^2}+\frac{\eta}{2}\frac{\mathrm d\Theta}{\mathrm d\eta}=0 \]

입니다. 경계 조건도 무차원화하면 $\Theta(0)=1$, $\Theta(\infty)=0$이므로 구하는 해는

\[ \Theta=\mathrm{erfc}\left(\frac{\eta}{2}\right) \]

가 됩니다. 예제 1이랑 완전히 똑같죠. 결론도 동일합니다.

  • $\eta\ge0$이므로 $T_1\le T\le T_2$입니다.
  • $y$가 클수록, $\alpha$가 작을수록, $t$가 작을수록 $T$는 $T_1$에 더 가깝습니다.
  • $y$가 작을수록, $\alpha$가 클수록, $t$가 클수록 $T$는 $T_2$에 더 가깝습니다.
  • 같은 시각, 같은 위치라면 $\alpha$가 클수록 $T$가 $T_2$에 더 가깝습니다. 즉, 유체의 온도가 전체적으로 더 빨리 증가합니다. 이는 열의 확산 속도가 더 빠르다는 것이고, $\alpha$는 확산 속도를 결정하는 변수입니다. 이것이 바로 $\alpha$의 이름이 열확산율인 이유입니다.

프란틀 수

여기까지 오면 프란틀 수의 의미는 명확해집니다. 동점성과 열확산율의 비니까, 프란틀 수는 운동량의 확산 속도가 열의 확산 속도보다 얼마나 빠른지를 나타내는 지표입니다. 프란틀 수가 매우 작으면(수은 등) 운동량은 거의 확산되지 않고 열만 확산되므로 대류보다는 전도가 훨씬 지배적입니다. 반대로 프란틀 수가 매우 크면(엔진 오일 등) 대류가 훨씬 지배적입니다. 이는 추후에 다룰 경계층 이론에서 중요하게 작용합니다.