브로카 점(Brocard Point)

삼각형 $\triangle ABC$에 대해 $\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA$를 만족하는 점 $P$가 유일하게 존재하고, 그 점을 브로카 점(Brocard point)라 합니다.

브로카 점의 작도) $A$와 $B$를 지나면서 $\overline{BC}$에 접하는 원을 $O$, $B$와 $C$를 지나면서 $\overline{CA}$에 접하는 원을 $O’$이라 하면 $O$과 $O’$의 교점은 브로카 점이다.

증명)

두 원의 교점을 $P$라 하고 $\angle PAB=\theta$라 합시다. 또 원 $O$와 직선 $\overline BO$의 교점을 $A’$이라 하면 원주각의 성질에 의해 $\angle PA’B=\angle PAB=\theta$입니다. 그런데 $\angle A’PB=\angle A’BC=90^\circ$이므로 $\angle PBC$도 $\theta$입니다. 마찬가지로 원 $O’$에 대해 이를 적용하면 $\angle PCA=\theta$임을 보일 수 있고, 따라서 교점 $P$는 브로카 점입니다. ■