[공기역학] 방정식의 무차원화(Nondimensionalization)

차원 해석에서 감쇠 조화 진동자에 버킹엄 파이 정리를 적용해 무차원 수 세 개를 얻었습니다. 그리고 운동방정식을 풀어서 나온 해를 잘 조작해서 버킹엄 파이 정리의 결과와 동일하다는 것을 보였죠. 그런데, 처음부터 운동방정식에 무차원 수들을 대입해서 무차원 수들의 방정식으로 바꾸면 운동방정식을 풀기 훨씬 편하지 않을까요?

직접 해봅시다. 첫 번째와 세 번째 무차원 수를 ‘무차원 좌표’와 ‘무차원 시간’이라 부릅시다.

\[ x^* = \frac{x}{A}, \quad t^* = t\sqrt\frac{k}{m} \]

이제 감쇠 조화 진동자의 운동방정식

\[ m\frac{\mathrm d^2 x}{\mathrm dt^2} + c\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} + kx = 0 \]

에 $x=Ax^*$와 $t=t^*\sqrt{m/k}$를 대입하면

\[ m\frac{A}{m/k}\frac{\mathrm d^2x^*}{\mathrm dt^{*2}}
+c\frac{A}{\sqrt{m/k}}c
+kAx^*=0 \]

\[ \therefore \frac{\mathrm d^2x^*}{\mathrm dt^{*2}}
+\frac{c}{\sqrt{km}}\frac{\mathrm d^2x^*}{\mathrm dt^{*2}}+x^* = 0 \]

좌변 두 번째 항에 계수로 두 번째 무차원 수가 튀어나왔습니다. 위 방정식으로부터 첫 번째 무차원 수 $x^*$는 두 번째 무차원 수와 세 번째 무차원 수 $t^*$의 함수임을 다시 한 번 알 수 있습니다.

지배 방정식의 무차원화

유동의 지배 방정식은 어떻게 무차원화될까요? 일단 무차원 변수들을 정의해야겠죠. 다음과 같은 식을 생각해봅시다.

\[ \mathbf V = f(L, V_\infty, \rho_\infty, T_\infty, \mu, k, \gamma, R, g, \Delta T, \mathbf x, t) \]

좌변의 종속 변수가 속도 $\mathbf V$이고 우변의 독립 변수에 좌표 $\mathbf x$와 시각 $t$가 추가된 형태입니다. 이 식에 버킹엄 파이 정리를 적용하면 무차원 좌표, 시각, 속도가 나옵니다.

\[ \mathbf x^* = \frac{\mathbf x}{L},
\qquad
t^* = \frac{V_\infty t}{L},
\qquad
\mathbf V^* = \frac{\mathbf V}{V_\infty} \]

무차원 압력도 똑같이 하면 되는데, 좌변에 $p$ 대신 게이지 압력 $p-p_\infty$를 넣어서 $p^*$를 계산합니다. 굳이 이렇게 하는 이유는 나중에 상태 방정식에서 나옵니다.

\[ p^* = \frac{p-p_\infty}{\rho_\infty V_\infty^2} \]

무차원 밀도와 무차원 중력도 구합시다.

\[ \rho^*=\frac{\rho}{\rho_\infty}, \qquad \mathbf g^* = \frac{\mathbf g}{g} \]

무차원 온도는 압력과 비슷하게 좌변에 $T$ 대신 $T-T_\infty$를 넣어서 구합니다. 다른 무차원 변수를 적절히 곱하면 아래와 같은 형태를 만들 수 있습니다.

\[ T^* = \frac{T-T_\infty}{T_{ref}-T_\infty} \]

델 연산자와 물질 도함수는 정의에 따라 무차원화 하면 다음과 같이 바뀝니다.

\[ \nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)
=\frac{1}{L}\left(\frac{\partial}{\partial x^*},\frac{\partial}{\partial y^*},\frac{\partial}{\partial z^*}\right)
=\frac{1}{L}\nabla^* \]

\[ \frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}=\frac{\partial}{\partial t}+u\frac{\partial}{\partial x}
+v\frac{\partial}{\partial y}+w\frac{\partial}{\partial z}
=\frac{V_\infty}{L}\left(\frac{\partial}{\partial t^*}+u^*\frac{\partial}{\partial x^*}
+v^*\frac{\partial}{\partial y^*}+w^*\frac{\partial}{\partial z^*}\right)
=\frac{V_\infty}{L}\frac{\mathrm D}{\mathrm Dt^*} \]

이제 지배 방정식 각각에 대입합니다.

연속 방정식

\[ \begin{align}
&\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla(\rho\cdot\mathbf V)=0 \\
\Rightarrow\quad
&\frac{\rho_\infty V_\infty}{L}\frac{\partial\rho^*}{\partial t^*}+\frac{\rho_\infty V_\infty}{L}
\nabla^*(\rho^*\cdot\mathbf V^*)=0 \\
\therefore\quad
& \frac{\partial\rho^*}{\partial t^*}+\nabla^*(\rho^*\cdot\mathbf V^*)=0
\end{align} \]

운동량 방정식

\[ \begin{align}
&\rho\frac{\mathrm D\mathbf V}{\mathrm Dt}=\rho\mathbf g-\nabla p
+\mu\nabla^2\mathbf V+\frac{1}{3}\mu\nabla(\nabla\cdot\mathbf V) \\
\Rightarrow\quad
&\frac{\rho_\infty V_\infty^2}{L}\rho^*\frac{\mathrm D\mathbf V^*}{\mathrm Dt^*}
=\rho_\infty g\rho^*\mathbf g^*
-\frac{\rho_\infty V_\infty^2}{L}\nabla^*p^*
+\frac{\mu V_\infty}{L^2}\nabla^{*2}\mathbf V^*
+\frac{1}{3}\frac{\mu V_\infty}{L^2}\nabla^*(\nabla^*\cdot\mathbf V^*) \\
\Rightarrow\quad
&\frac{\mathrm D\mathbf V^*}{\mathrm Dt^*}
=\frac{gc}{V_\infty^2}\rho^*\mathbf g^*
-\nabla^*p^*
+\frac{\mu}{\rho_\infty V_\infty L}\nabla^{*2}\mathbf V^*
+\frac{1}{3}\frac{\mu}{\rho_\infty V_\infty L}\nabla^*(\nabla^*\cdot\mathbf V^*) \\
\therefore\quad
&\frac{\mathrm D\mathbf V^*}{\mathrm Dt^*}
=\frac{1}{\mathrm{Fr}^2}\rho^*\mathbf g^*
-\nabla^*p^*
+\frac{1}{\mathrm{Re}}\nabla^{*2}\mathbf V^*
+\frac{1}{3\mathrm{Re}}\nabla^*(\nabla^*\cdot\mathbf V^*)
\end{align} \]

에너지 방정식

먼저 점성 소산을 무차원화합시다.

\[ \begin{align}
\Phi&=\mu\left[2\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+2\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2
+2\left(\frac{\partial w}{\partial z}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2
+\left(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}\right)^2
+\left(\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z}\right)^2\right] \\
&\qquad-\frac{2}{3}\mu\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}\right)^2 \\
&= \frac{\mu V_\infty^2}{L^2}
\left\{\left[2\left(\frac{\partial u^*}{\partial x^*}\right)^2
+2\left(\frac{\partial v^*}{\partial y^*}\right)^2
+2\left(\frac{\partial w^*}{\partial z^*}\right)^2\right.\right. \\
&\qquad\qquad\quad\left.+\left(\frac{\partial u^*}{\partial y^*}+\frac{\partial v^*}{\partial x^*}\right)^2
+\left(\frac{\partial v^*}{\partial z^*}+\frac{\partial w^*}{\partial y^*}\right)^2
+\left(\frac{\partial w^*}{\partial x^*}+\frac{\partial u^*}{\partial z^*}\right)^2\right] \\
&\qquad\qquad
-\frac{2}{3}
\left.\left(\frac{\partial u^*}{\partial x^*}+\frac{\partial v^*}{\partial y^*}
+\frac{\partial w^*}{\partial z^*}\right)^2\right\} \\
&= \frac{\mu V_\infty^2}{L^2} \Phi^*
\end{align} \]

따라서 무차원 에너지 방정식은

\[ \begin{align}
&\rho c_p \frac{\mathrm DT}{\mathrm Dt}=k\nabla^2 T+\frac{\mathrm Dp}{\mathrm Dt}+\Phi \\
\Rightarrow\quad
&\frac{\rho_\infty V_\infty c_p \Delta T}{L}\frac{\mathrm DT^*}{\mathrm Dt^*}
=k\frac{\Delta T}{c^2}\nabla^{*2}T^*
+\frac{\rho_\infty V_\infty^3}{L}\frac{\mathrm Dp^*}{\mathrm Dt^*}
+\frac{\mu V_\infty^2}{L^2} \Phi^* \\
\Rightarrow\quad
&\frac{\mathrm DT^*}{\mathrm Dt^*}
=\frac{\mu}{\rho_\infty V_\infty L}\frac{k}{\mu c_p}\nabla^{*2}T^*
+\frac{V_\infty^2}{c_p\Delta T}\frac{\mathrm Dp^*}{\mathrm Dt^*}
+\frac{\mu}{\rho_\infty V_\infty L}\frac{V_\infty^2}{c_p\Delta T}\Phi^* \\
\therefore\quad
&\frac{\mathrm DT^*}{\mathrm Dt^*}
=\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{1}{\mathrm{Pr}}\nabla^{*2}T^*
+\mathrm{Ec}\frac{\mathrm Dp^*}{\mathrm Dt^*}
+\frac{\mathrm{Ec}}{\mathrm{Re}}\Phi^*
\end{align} \]

여기서 레이놀즈 수와 프란틀 수의 곱이 등장하는데, 이걸 가끔 페클레 수(Péclet number)라고도 합니다.

\[ \mathrm{Pe} = \mathrm{Re}\mathrm{Pr} = \frac{V_\infty L}{\nu}\frac{\nu}{\alpha} = \frac{V_\infty L}{\alpha} \]

상태 방정식

\[ \begin{align}
&p=\rho RT \\
\Rightarrow\quad
&\rho_\infty V_\infty^2 p^* + p_\infty =\rho_\infty R\rho^*[T^*\Delta T+T_\infty] \\
\Rightarrow\quad
&\rho_\infty V_\infty^2 p^* + p_\infty = (\rho_\infty R \Delta T)\rho^* T^*+\underbrace{\rho_\infty R T_\infty}_{p_\infty} \\
\Rightarrow\quad
&p^*=\frac{R\Delta T}{V_\infty^2}\rho^* T^* \\
\Rightarrow\quad
&p^*=\frac{R}{c_p}\frac{c_p\Delta T}{V_\infty^2}\rho^*T^* \\
\therefore\quad
&p^*=\frac{\gamma-1}{\gamma}\frac{1}{\mathrm{Ec}}\rho^*T^*
\end{align} \]