[공기역학] 무차원화(Nondimensionalization)

차원 해석에서 감쇠 조화 진동자에 버킹엄 파이 정리를 적용해 무차원 수 세 개를 얻었습니다. 그리고 운동방정식을 풀어서 나온 해를 잘 조작해서 버킹엄 파이 정리의 결과와 동일하다는 것을 보였죠. 그런데, 처음부터 운동방정식에 무차원 수들을 대입해서 무차원 수들의 방정식으로 바꾸면 운동방정식을 풀기 훨씬 편하지 않을까요?

직접 해봅시다. 첫 번째와 세 번째 무차원 수를 ‘무차원 좌표’와 ‘무차원 시간’이라 부릅시다.

\[ x^* = \frac{x}{A}, \quad t^* = t\sqrt\frac{k}{m} \]

이제 감쇠 조화 진동자의 운동방정식

\[ m\frac{\mathrm d^2 x}{\mathrm dt^2} + c\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt} + kx = 0 \]

에 $x=Ax^*$와 $t=t^*\sqrt{m/k}$를 대입하면

\[ m\frac{A}{m/k}\frac{\mathrm d^2x^*}{\mathrm dt^{*2}}
+c\frac{A}{\sqrt{m/k}}c
+kAx^*=0 \]

\[ \therefore \frac{\mathrm d^2x^*}{\mathrm dt^{*2}}
+\frac{c}{\sqrt{km}}\frac{\mathrm d^2x^*}{\mathrm dt^{*2}}+x^* = 0 \]

좌변 두 번째 항에 계수로 두 번째 무차원 수가 튀어나왔습니다. 위 방정식으로부터 첫 번째 무차원 수 $x^*$는 두 번째 무차원 수와 세 번째 무차원 수 $t^*$의 함수임을 다시 한 번 알 수 있습니다.

지배 방정식의 무차원화

이걸 유동의 지배 방정식에 적용해봅시다. 그런데 무차원 시간 $t^* = V_\infty t/c$만 구했고 무차원 좌표, 무차원 속도 등은 아직 안 구했네요? 차원 해석으로 돌아가 아래 식

\[ \mathbf V = f(\mathbf x, p_\infty, \rho_\infty, \mu, \gamma, R, V_\infty, c, g, t) \]

을 세운 다음에 버킹엄 파이 정리를 적용하면 무차원 좌표와 무차원 속도가 나옵니다.

\[ \mathbf x^* = \frac{\mathbf x}{c}, \qquad \mathbf V^* = \frac{\mathbf V}{V_\infty} \]

무차원 압력도 똑같이 하면 되는데, 좌변에 $p$ 대신 게이지 압력 $p-p_\infty$를 넣어서 $p^*$를 계산합니다. 굳이 이렇게 하는 이유는 나중에 상태 방정식에서 나옵니다.

\[ p^* = \frac{p-p_\infty}{\rho_\infty V_\infty^2} \]

무차원 밀도와 무차원 중력도 구합시다.

\[ \rho^*=\frac{\rho}{\rho_\infty}, \qquad \mathbf g^* = \frac{\mathbf g}{g} \]

델 연산자와 물질 도함수는 정의에 따라 무차원화 하면 다음과 같이 바뀝니다.

\[ \nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)
=\frac{1}{c}\left(\frac{\partial}{\partial x^*},\frac{\partial}{\partial y^*},\frac{\partial}{\partial z^*}\right)
=\frac{1}{c}\nabla^* \]

\[ \frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}=\frac{\partial}{\partial t}+u\frac{\partial}{\partial x}
+v\frac{\partial}{\partial y}+w\frac{\partial}{\partial z}
=\frac{V_\infty}{c}\left(\frac{\partial}{\partial t^*}+u^*\frac{\partial}{\partial x^*}
+v^*\frac{\partial}{\partial y^*}+w^*\frac{\partial}{\partial z^*}\right)
=\frac{V_\infty}{c}\frac{\mathrm D}{\mathrm Dt^*} \]

이제 지배 방정식 각각에 대입합니다.

연속 방정식

\[ \begin{align}
&\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla(\rho\cdot\mathbf V)=0 \\
\Rightarrow\quad
&\frac{\rho_\infty V_\infty}{c}\frac{\partial\rho^*}{\partial t^*}+\frac{\rho_\infty V_\infty}{c}
\nabla^*(\rho^*\cdot\mathbf V^*)=0 \\
\therefore\quad
& \frac{\partial\rho^*}{\partial t^*}+\nabla^*(\rho^*\cdot\mathbf V^*)=0
\end{align} \]

운동량 방정식

\[ \begin{align}
&\rho\frac{\mathrm D\mathbf V}{\mathrm Dt}=\rho\mathbf g-\nabla p
+\mu\nabla^2\mathbf V+\frac{1}{3}\mu\nabla(\nabla\cdot\mathbf V) \\
\Rightarrow\quad
&\frac{\rho_\infty V_\infty^2}{c}\rho^*\frac{\mathrm D\mathbf V^*}{\mathrm Dt^*}
=\rho_\infty g\rho^*\mathbf g^*
-\frac{\rho_\infty V_\infty^2}{c}\nabla^*p^*
+\frac{\mu V_\infty}{c^2}\nabla^{*2}\mathbf V^*
+\frac{1}{3}\frac{\mu V_\infty}{c^2}\nabla^*(\nabla^*\cdot\mathbf V^*) \\
\Rightarrow\quad
&\frac{\mathrm D\mathbf V^*}{\mathrm Dt^*}
=\frac{gc}{V_\infty^2}\rho^*\mathbf g^*
-\nabla^*p^*
+\frac{\mu}{\rho_\infty V_\infty c}\nabla^{*2}\mathbf V^*
+\frac{1}{3}\frac{\mu}{\rho_\infty V_\infty c}\nabla^*(\nabla^*\cdot\mathbf V^*) \\
\therefore\quad
&\frac{\mathrm D\mathbf V^*}{\mathrm Dt^*}
=\frac{1}{\mathrm{Fr}^2}\rho^*\mathbf g^*
-\nabla^*p^*
+\frac{1}{\mathrm{Re}}\nabla^{*2}\mathbf V^*
+\frac{1}{3\mathrm{Re}}\nabla^*(\nabla^*\cdot\mathbf V^*)
\end{align} \]

에너지 방정식

차원 해석에선 힘, 모멘트에 대해서면 버킹엄 파이 정리를 적용하고 열전달에는 적용을 안 했었습니다. 이유는 별 거 없고 그냥 너무 복잡해서…. 여하튼 무차원 온도는 보통 다음과 같이 정의합니다.

\[ T^*= \frac{T-T_\infty}{T_{ref}-T_\infty} = \frac{T-T_\infty}{\Delta T} \]

여기서 $T_{ref}$는 기준 온도(reference temperature)로, 열전달 문제는 흔히 벽면 온도가 일정한 상황을 많이 다루기 때문에 기준 온도로 벽면 온도를 많이 사용합니다. 실제로도 벽면에서 대기로 전달되는 열에너지가 벽면 온도와 자유흐름 온도의 차이에 크게 영향받기도 해서 저런 정의를 씁니다.

다음으로 점성 소산을 무차원화합시다.

\[ \begin{align}
\Phi&=\mu\left[2\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+2\left(\frac{\partial v}{\partial y}\right)^2
+2\left(\frac{\partial w}{\partial z}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)^2
+\left(\frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}\right)^2
+\left(\frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z}\right)^2\right] \\
&\qquad-\frac{2}{3}\mu\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}\right)^2 \\
&= \frac{\mu V_\infty^2}{c^2}
\left\{\left[2\left(\frac{\partial u^*}{\partial x^*}\right)^2
+2\left(\frac{\partial v^*}{\partial y^*}\right)^2
+2\left(\frac{\partial w^*}{\partial z^*}\right)^2\right.\right. \\
&\qquad\qquad\quad\left.+\left(\frac{\partial u^*}{\partial y^*}+\frac{\partial v^*}{\partial x^*}\right)^2
+\left(\frac{\partial v^*}{\partial z^*}+\frac{\partial w^*}{\partial y^*}\right)^2
+\left(\frac{\partial w^*}{\partial x^*}+\frac{\partial u^*}{\partial z^*}\right)^2\right] \\
&\qquad\qquad
-\frac{2}{3}
\left.\left(\frac{\partial u^*}{\partial x^*}+\frac{\partial v^*}{\partial y^*}
+\frac{\partial w^*}{\partial z^*}\right)^2\right\} \\
&= \frac{\mu V_\infty^2}{c^2} \Phi^*
\end{align} \]

최종적으로 무차원 에너지 방정식은

\[ \begin{align}
&\rho c_p \frac{\mathrm DT}{\mathrm Dt}=k\nabla^2 T+\frac{\mathrm Dp}{\mathrm Dt}+\Phi \\
\Rightarrow\quad
&\frac{\rho_\infty V_\infty c_p \Delta T}{c}\frac{\mathrm DT^*}{\mathrm Dt^*}
=k\frac{\Delta T}{c^2}\nabla^{*2}T^*
+\frac{\rho_\infty V_\infty^3}{c}\frac{\mathrm Dp^*}{\mathrm Dt^*}
+\frac{\mu V_\infty^2}{c^2} \Phi^* \\
\Rightarrow\quad
&\frac{\mathrm DT^*}{\mathrm Dt^*}
=\frac{\mu}{\rho_\infty V_\infty c}\frac{k}{\mu c_p}\nabla^{*2}T^*
+\frac{V_\infty^2}{c_p\Delta T}\frac{\mathrm Dp^*}{\mathrm Dt^*}
+\frac{\mu}{\rho_\infty V_\infty c}\frac{V_\infty^2}{c_p\Delta T}\Phi^* \\
\therefore\quad
&\frac{\mathrm DT^*}{\mathrm Dt^*}
=\frac{1}{\mathrm{Re}}\frac{1}{\mathrm{Pr}}\nabla^{*2}T^*
+\mathrm{Ec}\frac{\mathrm Dp^*}{\mathrm Dt^*}
+\frac{\mathrm{Ec}}{\mathrm{Re}}\Phi^*
\end{align} \]

처음 보는 무차원 수가 두 개 나왔습니다. 각각 프란틀 수(Prandtl number)와 에커트 수(Eckert number)라고 합니다.

\[ \begin{align}
\mathrm{Pr} &= \frac{\mu c_p}{k} = \frac{\mu/\rho}{k/(\rho c_p)} = \frac{\nu}{\alpha} \\
\mathrm{Ec} &= \frac{V_\infty^2}{c_p\Delta T}
\end{align} \]

또 레이놀즈 수와 프란틀 수의 곱을 가끔 페클레 수(Péclet number)라고도 합니다.

\[ \mathrm{Pe} = \mathrm{Re}\mathrm{Pr} = \frac{V_\infty c}{\nu}\frac{\nu}{\alpha} = \frac{V_\infty c}{\alpha} \]

상태 방정식

\[ \begin{align}
&p=\rho RT \\
\Rightarrow\quad
&\rho_\infty V_\infty^2 p^* + p_\infty =\rho_\infty R\rho^*[T^*\Delta T+T_\infty] \\
\Rightarrow\quad
&\rho_\infty V_\infty^2 p^* + p_\infty = (\rho_\infty R \Delta T)\rho^* T^*+\underbrace{\rho_\infty R T_\infty}_{p_\infty} \\
\Rightarrow\quad
&p^*=\frac{R\Delta T}{V_\infty^2}\rho^* T^* \\
\Rightarrow\quad
&p^*=\frac{R}{c_p}\frac{c_p\Delta T}{V_\infty^2}\rho^*T^* \\
\therefore\quad
&p^*=\frac{\gamma-1}{\gamma}\frac{1}{\mathrm{Ec}}\rho^*T^*
\end{align} \]