[공기역학] 차원 해석(Dimensional Analysis)

차원

물리에서 자주 쓰이는 힘, 길이, 온도 등등을 차원(dimension)이라고 합니다. 거리와 높이, 폭은 모두 길이의 차원을 가지고, 중력, 전자기력, 마찰력 등은 모두 힘의 차원을 가집니다. 차원을 가지는 물리량을 어떤 수치로 나타내려면 항상 단위(unit)이 필요하고, 차원이 같더라도 단위가 여러가지일 수 있습니다. 길이의 단위로 미터와 인치를 같이 쓰는 것이 한 예죠. 또한 차원이 같은 물리량끼리만 더하거나 뺄 수 있고 곱셈과 나눗셈은 차원에 상관없이 가능합니다.

어떤 차원들은 다른 차원의 곱과 몫으로 표현됩니다. 예를 들어 속력은 길이를 시간으로 나눈 몫이고, 부피는 길이의 세제곱입니다. 이런 방식으로 모든 차원은 7가지 기본 차원으로 나타낼 수 있는데, 기본 차원은 아래와 같습니다.

  • 길이 $\mathrm L$
  • 질량 $\mathrm M$
  • 시간 $\mathrm T$
  • 온도 $\mathrm \Theta$
  • 전류 $\mathrm I$
  • 물질의 양 $\mathrm N$
  • 광도 $\mathrm J$

간단하게 다른 물리량의 차원을 기본 차원으로 표현해봅시다. 먼저 힘의 경우엔 질량과 가속도의 곱이고 가속도는 길이를 시간으로 두 번 나눠준 것이므로

\[ [F] = [ma] = \mathrm M\times\frac{\mathrm L}{\mathrm T^2} = \frac{\mathrm {ML}}{\mathrm T^2} \]

일과 에너지는 힘과 거리의 곱이므로

\[ [W] = [E] = [Fs] = \frac{\mathrm {ML}}{\mathrm T^2}\times L = \frac{\mathrm {ML}^2}{\mathrm T^2} \]

한편 운동 에너지와 중력 퍼텐셜 에너지도 정의에 따라 차원을 계산해보면 에너지의 차원이 제대로 나옵니다. 운동 에너지의 정의에 등장하는 $\frac{1}{2}$은 차원이 없는 상수임에 주의합시다.

\[ [K] = \left[\frac{1}{2}mv^2\right] = \mathrm M\times\left(\frac{\mathrm L}{\mathrm T}\right)^2
= \frac{\mathrm {ML}^2}{\mathrm T^2} \]

\[ [U] = [mgh] = \mathrm M\times\frac{\mathrm L}{\mathrm T^2}\times\mathrm L
= \frac{\mathrm {ML}^2}{\mathrm T^2} \]

압력은 힘을 면적으로 나눈 것이므로

\[ [p] = \left[\frac{F}{A}\right] = \frac{\mathrm{ML}/\mathrm T^2}{\mathrm L^2}
= \frac{\mathrm M}{\mathrm {LT}^2} \]

마지막으로 점성은

\[ [\mu] = \left[\frac{\tau}{\partial u/\partial y}\right]
= \frac{\mathrm M/(\mathrm{LT}^2)}{(\mathrm L/\mathrm T)/\mathrm L}
= \frac{\mathrm M}{\mathrm{LT}} \]

버킹엄 파이 정리

유체 속에 놓인 물체가 받는 힘과 모멘트는 무엇의 함수일까요? 일단 유체의 특성에 큰 영향을 받으니 밀도, 온도, 압력, 점성, 비열비, 기체 상수가 있겠고(체적점성은 무시하고, 압력은 밀도, 기체 상수, 온도의 종속 변수이므로 빼도 됩니다), 여기에 비행 속력과 비행기의 크기가 추가됩니다(중력 등 체적력도 무시합시다). 또 비정상 유동이면 시간도 들어가야죠. 유체의 특성과 비행 속력은 자유흐름을 기준으로 하고 비행기 크기는 시위(chord, 날개 폭) $c$를 기준으로 하면

\[ F, \ M = f(\rho_\infty, T_\infty, \mu, \gamma, R, V_\infty, c, t) \]

또는 $R$ 대신 자유흐름에서 음속 $a_\infty=\sqrt{\gamma R T_\infty}$를 넣어서

\[ F, \ M = f(\rho_\infty, T_\infty, \mu, \gamma, a_\infty, V_\infty, c, t) \]

여기서 큰 문제가 생깁니다. 함수 $f$의 식을 찾고 싶은데(아니면 최소한 그래프라도 그리고 싶은데), 8변수 함수나 되어서 실험을 해서 찾는 건 너무 복잡합니다. 대충 한 변수당 10가지 다른 값으로 해서 실험한다고 해도 실험 횟수가 1억 번이죠.

버킹엄 파이 정리(Buckingham’s Pi theorem)는 복잡한 관계식을 무차원 변수를 이용해 적은 개수의 변수를 가지는 간단한 관계식으로 만들어줍니다. 사실 이 정리는 위 관계식만큼이나 난해한데(?) 과정은 다음과 같습니다.

1단계) 관계식에 등장하는 변수의 개수를 셉니다(좌변에 등장하는 종속 변수도 포함). 개수를 $n$이라 합시다.

2단계) 관계식에 등장하는 모든 기본 차원의 개수를 $m$으로 둡니다.

3단계) 독립 변수 중 적당히 $m$개를 고릅니다. 이들을 반복 변수(repeating variable)라 합니다. 반복 변수를 고르는 데에도 규칙이 있습니다.

  • 관계식에 등장하는 모든 기본 차원은 적어도 한 반복 변수에서 등장해야 합니다.
  • 반복 변수는 무차원일 수 없습니다.
  • 두 반복 변수의 차원이 같거나 한 쪽의 차원이 다른 쪽의 거듭제곱일 수 없습니다.

반복 변수를 $P_1$, $P_2$, …, $P_m$이라 하고 종속 변수를 $P_{m+1}$, 나머지를 $P_{m+2}$, …, $P_n$이라 합시다.

4단계) 무차원 변수 $n-m$개를 아래와 같이 결정합니다.

\[ \begin{align}
\Pi_1 &= P_{m+1}P_1^?P_2^?\cdots P_m^? \\
\Pi_2 &= P_{m+2}P_1^?P_2^?\cdots P_m^? \\
&\quad\vdots \\
\Pi_{n-m} &= P_nP_1^?P_2^?\cdots P_m^?
\end{align} \]

지수는 귀찮아서 다 ?로 써놨는데 각 $\Pi$가 무차원이 되도록 정해주면 됩니다.

5단계) 최종 관계식은

\[ \Pi_1 = f(\Pi_2, \cdots, \Pi_{n-m}) \]

만약 5단계까지 오는 도중에 어딘가 이상한 부분이 생긴다면 $m$을 1 줄이고 3단계부터 다시 시작합니다.

예제) 지면에 수직으로 서 있던 균일한 막대가 넘어지는 데 걸리는 시간은 막대의 길이와 질량, 중력 가속도의 함수라고 한다. 차원 해석을 이용해 관계식을 구하여라.

풀이) 먼저 넘어지는 데 걸리는 시간이 막대의 길이와 질량, 중력 가속도의 함수이므로

\[ T = f(L, M, g) \]

이제 버킹엄 파이 정리를 적용해봅시다.

1단계) 변수를 다 모으면 $T$, $L$, $M$, $g$로 총 4개입니다. 따라서 $n=4$.

2단계) 각 변수의 차원을 기본 차원으로 나타내면

\[ \begin{align}
[T] &= \mathrm T \\
[L] &= \mathrm L \\
[M] &= \mathrm M \\
[g] &= \mathrm L/\mathrm T^2
\end{align} \]

이므로 관계식에 등장하는 기본 차원은 총 3개입니다($\mathrm L$, $\mathrm M$, $\mathrm T$). 따라서 $m=3$.

3단계) 종속 변수 중 반복 변수 3개를 골라야 하는데 어차피 종속 변수가 3개 뿐이니 다 고르면 되겠네요.

4단계) 무차원 변수가 딱 하나 나옵니다.

\[ \Pi_1 = TL^iM^jg^k \]

이게 무차원이 되려면

\[ [\Pi_1] = [TL^iM^jg^k]
= \mathrm T\mathrm L^i\mathrm M^j\left(\frac{\mathrm L}{\mathrm T^2}\right)^k
= \mathrm L^{i+k}\mathrm M^j\mathrm T^{1-2k}
= 1 \]

\[ \therefore i = -\frac{1}{2}, \ j=0, \ k=\frac{1}{2} \qquad \Rightarrow \qquad \Pi_1 = T\sqrt{\frac{g}{L}} \]

5단계) 최종 관계식은

\[ \Pi_1 = f(???) \]

여야 하는데 무차원 변수가 $\Pi_1$ 하나 뿐이므로 $\Pi_1$은 그 어떤 변수의 함수도 아닙니다. 즉, 상수입니다.

\[ \Pi_1 = T\sqrt{\frac{g}{L}} = \text{const.} \]

또는

\[ T = \text{const.}\times\sqrt{\frac{L}{g}} \]

이는 익히 알려진 결과와 일치합니다. 버킹엄 파이 정리는 저 상수의 값을 알려주지 않는다는 점에 주의합시다. 상수의 값을 구하려면 실험을 하거나 운동 방정식을 풀어야 합니다. ■

힘 계수, 모멘트 계수, 레이놀즈 수, 마하 수

이제 버킹엄 파이 정리를

\[ F = f(\rho_\infty, T_\infty, \mu, \gamma, a_\infty, V_\infty, c, t) \]

에 적용해봅시다.

1단계) 변수의 개수가 9개이므로 $n=9$입니다.

2단계) 각 변수의 차원을 기본 차원으로 나타내면

\[ \begin{align}
[F] &= \frac{\mathrm{ML}}{\mathrm T^2} &
[\mu] &= \frac{\mathrm M}{\mathrm{LT}} &
[V_\infty] &= \frac{\mathrm L}{\mathrm T} \\
[\rho_\infty] &= \frac{\mathrm M}{\mathrm L^3} &
[\gamma] &= 1 &
&= \mathrm L \\
[T_\infty] &= \mathrm\Theta &
[a_\infty] &= \frac{\mathrm L}{\mathrm T} &
[t] &= \mathrm T
\end{align} \]

따라서 관계식에 등장하는 기본 차원은 총 4개이고, $m=4$입니다.

3단계) 8개 중에 4개를 골라야 하는데, 비열비는 이미 무차원이고 온도 차원을 가지는 변수가 $T$ 뿐이므로 이건 반드시 골라야 합니다. 또 $a_\infty$와 $V_\infty$는 차원이 같으므로 둘 중 하나만 골라야 합니다. 이를 고려해서 반복 변수로 $\rho_\infty$, $T_\infty$, $V_\infty$, $c$를 선택합시다.

4단계) 무차원 변수가 5개 등장합니다. 첫 번째 무차원 변수는

\[ [\Pi_1] = [F\rho_\infty^iT_\infty^jV_\infty^kc^l]
= \left(\frac{\mathrm{ML}}{\mathrm T^2}\right)\left(\frac{\mathrm M}{\mathrm L^3}\right)^i \mathrm\Theta^j\left(\frac{\mathrm L}{\mathrm T}\right)^k\mathrm L^l
= \mathrm L^{1-3i+k+l}\mathrm M^{1+i}\mathrm T^{-2-k}\mathrm\Theta^j = 1 \]

\[ \therefore i=-1, \ j=0, \ k=-2, \ l=-2 \qquad \Rightarrow \qquad \Pi_1 = \frac{F}{\rho_\infty V_\infty^2 c^2} \]

여기서 편의상 약간의 조작이 들어갑니다. 먼저 $\rho_\infty V_\infty^2$을 보면 익숙하죠? $\Pi_1$에 2를 곱해서(이래도 여전히 무차원이므로 상관 없습니다) 분모에 자유흐름 동압 $q_\infty=\frac{1}{2}\rho_\infty V_\infty^2$이 오도록 합니다. 그리고 $c^2$은 날개 면적 $S$에 비례하니 이것도 바꿔주면

\[ \Pi_1 = \frac{F}{q_\infty S} \]

이 무차원 변수를 힘 계수(force coefficient) $C_F$라고 합니다. 힘이 양력이면 양력 계수(lift coefficient) $C_L$이 되고, 항력이면 항력 계수(drag coefficient) $C_D$가 됩니다.

두 번째 무차원 변수는 같은 방법으로 하면

\[ \Pi_2 = \frac{\mu}{\rho_\infty V_\infty c} \]

인데, 이것의 역수를(역시 무차원이므로 상관 없습니다) 처음으로 이를 유도한 오스본 레이놀즈(Osborne Reynolds)의 이름을 따서 레이놀즈 수(Reynolds number)라고 합니다.

\[ \mathrm{Re} = \frac{\rho_\infty V_\infty c}{\mu} \]

또는 동점성(kinematic viscosity) $\nu=\mu/\rho$를 써서

\[ \mathrm{Re} = \frac{V_\infty c}{\nu} \]

로도 표현합니다. 레이놀즈 수를 계산할 때 쓰는 기준 길이가 $c$라는 걸 강조하기 위해 아랫첨자를 붙여 $\mathrm{Re}_c$라 쓰는 경우도 있습니다.

세 번째 무차원 변수는 간단하게 그냥 비열비 $\gamma$이고, 네 번째 무차원 변수는

\[ \Pi_4 = \frac{a_\infty}{V_\infty} \]

이고 역시 이것의 역수를 에른스트 마흐(Ernst Mach)의 이름을 따 마하 수(Mach number)라고 합니다(정확히 말하면 자유흐름 마하 수).

\[ M_\infty = \frac{V_\infty}{a_\infty} \]

마하 수는 정의에서도 쉽게 보이듯이 유동의 속력이 음속의 몇 배인지를 나타내는 지표입니다. 자유흐름이 아닌 곳에서 마하 수를 계산할 때에는 그냥 그 지점의 속력과 음속을 쓰면 됩니다.

마지막 무차원 변수는 시간과 관련된 것으로

\[ \Pi_5 = \frac{V_\infty}{c}t \]

흔히 무차원 시간(dimensionless time, 시간의 무차원 버전)으로 부릅니다.

5단계) 무차원 변수 5개 사이 관계식은

\[ C_F = f(\mathrm{Re}, \gamma, M_\infty, V_\infty t/c) \]

이제 $f$가 4변수 함수가 되었으므로 실험해야 할 게 확 줄었습니다!

한편 모멘트에 관한 식에 버킹엄 파이 정리를 적용하면 모멘트 계수(moment coefficient)

\[ C_m = \frac{M}{q_\infty Sc} \]

가 나오고, 마찬가지로 레이놀즈 수와 비열비, 마하 수, 무차원 시간의 함수가 됩니다(모멘트와 마하 수의 기호가 겹치는 게 좀 거슬리긴 하네요).

\[ C_m = f(\mathrm{Re}, \gamma, M_\infty, V_\infty t/c) \]

2차원 유동의 양력, 항력, 모멘트 계수

2차원 유동은 일정한 단면을 갖는 무한히 긴 날개로 취급할 수 있습니다. 이때는 단위 스팬당 양력 $L’$, 항력 $D’$, 모멘트 $M’$가 되고 날개 면적도 역시 단위 스팬당 면적 = 시위 길이가 되어서

  • 2차원 양력 계수: \[c_l = \frac{L’}{q_\infty c}\]
  • 2차원 항력 계수: \[c_d = \frac{D’}{q_\infty c}\]
  • 2차원 모멘트 계수: \[c_m = \frac{M’}{q_\infty c^2}\]

로 바뀝니다.