[공기역학] 차원 해석(Dimensional Analysis)

차원

물리에서 자주 쓰이는 힘, 길이, 온도 등등을 차원(dimension)이라고 합니다. 거리와 높이, 폭은 모두 길이의 차원을 가지고, 중력, 전자기력, 마찰력 등은 모두 힘의 차원을 가집니다. 차원을 가지는 물리량을 어떤 수치로 나타내려면 항상 단위(unit)이 필요하고, 차원이 같더라도 단위가 여러가지일 수 있습니다. 길이의 단위로 미터와 인치를 같이 쓰는 것이 한 예죠. 또한 차원이 같은 물리량끼리만 더하거나 뺄 수 있고 곱셈과 나눗셈은 차원에 상관없이 가능합니다.

어떤 차원들은 다른 차원의 곱과 몫으로 표현됩니다. 예를 들어 속력은 길이를 시간으로 나눈 몫이고, 부피는 길이의 세제곱입니다. 이런 방식으로 모든 차원은 7가지 기본 차원으로 나타낼 수 있는데, 기본 차원은 아래와 같습니다.

  • 길이 $\mathrm L$
  • 질량 $\mathrm M$
  • 시간 $\mathrm T$
  • 온도 $\mathrm \Theta$
  • 전류 $\mathrm I$
  • 물질의 양 $\mathrm N$
  • 광도 $\mathrm J$

간단하게 다른 물리량의 차원을 기본 차원으로 표현해봅시다. 먼저 힘의 경우엔 질량과 가속도의 곱이고 가속도는 길이를 시간으로 두 번 나눠준 것이므로

\[ [F] = [ma] = \mathrm M\times\frac{\mathrm L}{\mathrm T^2} = \frac{\mathrm {ML}}{\mathrm T^2} \]

일과 에너지는 힘과 거리의 곱이므로

\[ [W] = [E] = [Fs] = \frac{\mathrm {ML}}{\mathrm T^2}\times L = \frac{\mathrm {ML}^2}{\mathrm T^2} \]

한편 운동 에너지와 중력 퍼텐셜 에너지도 정의에 따라 차원을 계산해보면 에너지의 차원이 제대로 나옵니다. 운동 에너지의 정의에 등장하는 $\frac{1}{2}$은 차원이 없는 상수임에 주의합시다.

\[ [K] = \left[\frac{1}{2}mv^2\right] = \mathrm M\times\left(\frac{\mathrm L}{\mathrm T}\right)^2
= \frac{\mathrm {ML}^2}{\mathrm T^2} \]

\[ [U] = [mgh] = \mathrm M\times\frac{\mathrm L}{\mathrm T^2}\times\mathrm L
= \frac{\mathrm {ML}^2}{\mathrm T^2} \]

압력은 힘을 면적으로 나눈 것이므로

\[ [p] = \left[\frac{F}{A}\right] = \frac{\mathrm{ML}/\mathrm T^2}{\mathrm L^2}
= \frac{\mathrm M}{\mathrm {LT}^2} \]

마지막으로 점성은

\[ [\mu] = \left[\frac{\tau}{\partial u/\partial y}\right]
= \frac{\mathrm M/(\mathrm{LT}^2)}{(\mathrm L/\mathrm T)/\mathrm L}
= \frac{\mathrm M}{\mathrm{LT}} \]

버킹엄 파이 정리

버킹엄 파이 정리(Buckingham’s Pi theorem)는 복잡한 함수에 대해 각 변수의 차원을 분석, 무차원 수를 이용해 적은 개수의 변수를 가지는 간단한 함수로 만들어줍니다. 이 정리는 사실 꽤나 난해한데 과정은 다음과 같습니다.

1단계) 모든 변수의 개수를 $n$으로 둡니다. 종속 변수, 독립 변수를 모두 세야 합니다.

2단계) 변수에 등장하는 모든 기본 차원의 개수를 $m$으로 둡니다.

3단계) 독립 변수 중 적당히 $m$개를 고릅니다. 이들을 반복 변수(repeating variable)라 합니다. 반복 변수를 고르는 데에도 규칙이 있습니다.

  • 변수에 등장하는 모든 기본 차원은 적어도 한 반복 변수에서 등장해야 합니다.
  • 반복 변수는 무차원일 수 없습니다.
  • 두 반복 변수의 차원이 같거나 한 쪽의 차원이 다른 쪽의 거듭제곱일 수 없습니다.

반복 변수를 $P_1$, $P_2$, …, $P_m$이라 하고 종속 변수를 $P_{m+1}$, 반복 변수가 아닌 나머지 독립 변수를 $P_{m+2}$, …, $P_n$이라 합시다.

4단계) 무차원 수 $n-m$개를 아래와 같이 결정합니다.

\[ \begin{align}
\Pi_1 &= P_{m+1}P_1^?P_2^?\cdots P_m^? \\
\Pi_2 &= P_{m+2}P_1^?P_2^?\cdots P_m^? \\
&\quad\vdots \\
\Pi_{n-m} &= P_nP_1^?P_2^?\cdots P_m^?
\end{align} \]

지수는 귀찮아서 다 ?로 써놨는데 각 $\Pi$가 무차원이 되도록 정해주면 됩니다.

5단계) 최종적으로 함수의 꼴은

\[ \Pi_1 = f(\Pi_2, \cdots, \Pi_{n-m}) \]

가 됩니다. 만약 5단계까지 오는 도중에 어딘가 이상한 부분이 생긴다면 $m$을 1 줄이고 3단계부터 다시 시작합니다.

예제) 1차원상에 놓여 있는 질량 $m$짜리 물체에 탄성력 $-kx$와 속도에 비례하는 저항력 $-cv$가 작용한다(감쇠 조화 진동자). $c$는 충분히 작아 저감쇠 진동한다고 가정하자. 물체가 $x=A$에서 속도 0으로 출발했을 때 위치는 $m$, $k$, $c$, $A$, $t$의 함수라고 한다. 버킹엄 파이 정리를 적용하여 함수를 간단한 형태로 만드시오.

풀이) 먼저 변수들을 쭉 나열합니다.

\[ x = f(m, k, c, A, t) \]

이제 버킹엄 파이 정리를 적용해봅시다.

1단계) 변수를 다 모으면 $x$, $m$, $k$, $c$, $A$, $t$로 총 6개입니다. 따라서 $n=6$.

2단계) 각 변수의 차원을 기본 차원으로 나타내면

\[ \begin{align}
[x] &= \mathrm L &
[m] &= \mathrm M &
[k] &= \mathrm M / {\mathrm T}^2 \\
\left[ c \right] &= \mathrm M / \mathrm T &
[A] &= \mathrm L &
[t] &= \mathrm T
\end{align} \]

이므로 함수에 등장하는 기본 차원은 총 3개입니다($\mathrm L$, $\mathrm M$, $\mathrm T$). 따라서 $m=3$.

3단계) 종속 변수 중 반복 변수 3개를 골라야 합니다. $m$, $k$, $A$를 골라봅시다. $t$를 고르지 않는 이유는 $t$가 무차원 수 하나에만 들어가게 하는 것이 편리하기 때문입니다.

4단계) 무차원 수가 세 개 나옵니다. 첫 번째는

\[ \Pi_1 = x m^\alpha k^\beta A^\gamma \]

이게 무차원이 되려면

\[ [\Pi_1] = [x m^\alpha k^\beta A^\gamma]
= \mathrm L \mathrm M^\alpha \left( \frac{\mathrm M}{\mathrm T^2} \right)^\beta \mathrm L^\gamma
= \mathrm L^{1+\gamma} \mathrm M^{\alpha+\beta} \mathrm T^{-2\beta}
= 1 \]

\[ \therefore \alpha = 0, \ \beta = 0, \ \gamma=-1 \qquad \Rightarrow \qquad \Pi_1 = \frac{x}{A} \]

두 번째는

\[ \Pi_2 = c m^\alpha k^\beta A^\gamma \]

이고 차원을 분석하면 다음과 같습니다.

\[ [\Pi_2] = [ c m^\alpha k^\beta A^\gamma]
= \left(\frac{\mathrm M}{\mathrm T}\right) \mathrm M^\alpha \left( \frac{\mathrm M}{\mathrm T^2} \right)^\beta \mathrm L^\gamma
= \mathrm L^\gamma \mathrm M^{1+\alpha+\beta} \mathrm T^{-1-2\beta}
= 1 \]

\[ \therefore \alpha = -\frac{1}{2}, \ \beta = -\frac{1}{2}, \ \gamma = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \Pi_2 = \frac{c}{\sqrt{km}} \]

마지막 무차원 수는

\[ \Pi_3 = t m^\alpha k^\beta A^\gamma \]

\[ [\Pi_3] = [t m^\alpha k^\beta A^\gamma]
= \mathrm T \mathrm M^\alpha \left(\frac{\mathrm M}{\mathrm T^2}\right)^\beta \mathrm L^\gamma
= \mathrm L^\gamma \mathrm M^{\alpha+\beta} \mathrm T^{1-2\beta}
= 1 \]

\[ \therefore \alpha = -\frac{1}{2}, \ \beta = \frac{1}{2}, \ \gamma = 0
\qquad \Rightarrow \qquad
\Pi_3 = t\sqrt\frac{k}{m} \]

5단계) 최종적으로 함수의 꼴은

\[ \Pi_1 = f(\Pi_2, \Pi_3) \qquad \Rightarrow \qquad \frac{x}{A}
= f\left(\frac{c}{\sqrt{km}}, t\sqrt\frac{k}{m}\right) \]

독립 변수 5개짜리 함수가 2개짜리 함수로 바뀌었습니다! 또, 버킹엄 파이 정리는 저 함수의 정확한 형태를 알려주지 않는다는 점에 주의합시다. 이걸 알고 싶으면 운동방정식을 풀어야 합니다. 저감쇠 진동에 대해 운동방정식을 풀면 $x$는

\[ x = A e^{-\frac{c}{2m}t} \cos\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{c^2}{4m^2}}t \]

이고 정리하면

\[ \frac{x}{A} = e^{-\frac{1}{2}\frac{c}{\sqrt{km}} t\sqrt\frac{k}{m}}
\cos \left( \frac{1}{2}t\sqrt\frac{k}{m} \sqrt{4-\frac{c^2}{km}} \right) \]

\[ \therefore \Pi_1 = e^{-\frac{1}{2}\Pi_2\Pi_3} \cos\left( \frac{1}{2}\Pi_3\sqrt{4-\Pi_2^2} \right) \]

이므로 버킹엄 파이 정리의 결과와 일치합니다. ■

유동 현상의 무차원 수

공기 중에서 물체가 받는 힘이나 모멘트, 또는 물체 표면으로 전달되는 열과 같은 물리량들은 무엇의 함수일까요? 일단 물체의 크기와 자유흐름의 속력, 밀도, 온도가 있겠고, 공기의 물리적 특성인 점성, 열전도율, 비열비, 기체 상수가 있을 겁니다. 그 외에 중력가속도가 있고, 열전달에선 그냥 온도 말고도 온도차, 즉 물체 표면과 자유흐름 온도의 차이 역시 중요합니다. 압력이나 비열 같은 다른 성질들은 이 앞의 변수 10개로부터 구할 수 있으니 빼도 됩니다.

여기서 물체의 크기는 ‘기준 길이’ $L$을 정해서 씁시다. 원통이나 구라면 지름 $D$, 날개는 시위(날개 폭) $c$를 기준 길이로 쓸 수 있겠습니다. 마찬가지로 물체 표면 온도는 ‘기준 온도’ $T_{ref}$를 정해서 씁니다. 표면 온도가 일정하면 그 값을 그대로 쓰면 되고, 아니면 최댓값이나 평균값을 기준 온도로 삼으면 됩니다. 이를 종합하면 아래와 같습니다. 여기서 $\Delta T$는 온도차 $T_{ref}-T_\infty$입니다.

\[ F, \ M, \ \dot{q}, \ \cdots = f(L, V_\infty, \rho_\infty, T_\infty, \mu, k, \gamma, R, g, \Delta T) \]

정말로 복잡합니다! 일단 좌변에 힘 $F$가 올 때 버킹엄 파이 정리를 써서 간단하게 만들어봅시다.

1단계) 변수의 개수가 11개이므로 $n=11$입니다.

2단계) 각 변수의 차원을 기본 차원으로 나타내면

\[ \begin{align}
[F] &= \frac{\mathrm{ML}}{\mathrm T^2} &
[L] &= \mathrm L &
[V_\infty] &= \frac{\mathrm L}{\mathrm T} &
[\rho_\infty] &= \frac{\mathrm M}{\mathrm L^3} &
[T_\infty] &= \mathrm\Theta &
[\mu] &= \frac{\mathrm M}{\mathrm{LT}} \\
[k] &= \frac{\mathrm{ML}}{\mathrm{T^2\Theta}} &
[\gamma] &= 1 &
[R] &= \frac{\mathrm L^2}{\mathrm{T^2\Theta}} &
[g] &= \frac{\mathrm L}{\mathrm T^2} &
[\Delta T] &= \mathrm\Theta &
&
\end{align} \]

따라서 관계식에 등장하는 기본 차원은 총 4개이고, $m=4$입니다.

3단계) 10개 중에 4개를 골라야 합니다. $\rho_\infty$, $V_\infty$, $L$. $T_\infty$를 선택합시다.

4단계) 무차원 수가 7개 등장합니다. 첫 번째 무차원 수는

\[ [\Pi_1] = [F\rho_\infty^a V_\infty^b L^c]
= \left(\frac{\mathrm{ML}}{\mathrm T^2}\right)\left(\frac{\mathrm M}{\mathrm L^3}\right)^a \left(\frac{\mathrm L}{\mathrm T}\right)^b\mathrm L^c
= \mathrm L^{1-3a+b+c}\mathrm M^{1+a}\mathrm T^{-2-b} = 1 \]

\[ \therefore a=-1, \ b=-2, \ c=-2 \qquad \Rightarrow \qquad
\Pi_1 = \frac{F}{\rho_\infty V_\infty^2 L^2} \]

같은 방법으로 나머지 무차원 수를 구하면

\[ \begin{align}
\Pi_2 &= \frac{\mu}{\rho_\infty V_\infty L} \\[1ex]
\Pi_3 &= \frac{kT_\infty}{\rho_\infty V_\infty^3 L} \\[1ex]
\Pi_4 &= \gamma \\[1ex]
\Pi_5 &= \frac{RT_\infty}{V_\infty^2} \\[1ex]
\Pi_6 &= \frac{gL}{V_\infty^2} \\[1ex]
\Pi_7 &= \frac{\Delta T}{T_\infty}
\end{align} \]

여기서 편의상 약간의 조작이 들어갑니다. 새로운 무차원 수 집합을 다음과 같이 정의합시다. $\Pi_1^\prime$부터 $\Pi_7^\prime$까지를 알면 $\Pi_1$부터 $\Pi_7$까지를 구할 수 있으므로 상관 없습니다.

\[ \begin{align}
\Pi_1^\prime &= \Pi_1 = \frac{F}{\rho_\infty V_\infty^2 L^2} \\[1em]
\Pi_2^\prime &= \Pi_2^{-1} = \frac{\rho_\infty V_\infty L}{\mu} \\[1em]
\Pi_3^\prime &= \Pi_2\Pi_3^{-1}\frac{\Pi_4}{\Pi_4-1}\Pi_5
= \frac{\mu}{k}\frac{\gamma R}{\gamma-1} = \frac{\mu c_p}{k} \\[1em]
\Pi_4^\prime &= \Pi_4 = \gamma \\[1em]
\Pi_5^\prime &= \Pi_4^{-1}\Pi_5^{-1}
= \frac{V_\infty^2}{\gamma R T_\infty} = \frac{V_\infty^2}{a_\infty^2} \\[1em]
\Pi_6^\prime &= \Pi_6^{-1/2} = \frac{V_\infty}{\sqrt{gL}} \\[1em]
\Pi_7^\prime &= \frac{\Pi_4-1}{\Pi_4}\Pi_5^{-1}\Pi_7^{-1}
= \frac{\gamma-1}{\gamma R}\frac{V_\infty^2}{\Delta T} = \frac{V_\infty^2}{c_p\Delta T}
\end{align} \]

첫 번째 무차원 수는 저 형태 그대로 쓰기보단 한 번 더 식을 수정합니다. 먼저 $\rho_\infty V_\infty^2$을 보면 익숙하죠? $\Pi_1$에 2를 곱해서(이래도 여전히 무차원이므로 상관 없습니다) 분모에 자유흐름 동압 $q_\infty=\frac{1}{2}\rho_\infty V_\infty^2$이 오도록 합니다. 그리고 $L^2$은 물체의 단면적 $S$에 비례하니 이것도 바꿔줍니다. 이 무차원 수를 힘 계수(force coefficient)라고 합니다.

\[ C_F = \frac{F}{q_\infty S} \]

힘이 양력이면 양력 계수(lift coefficient) $C_L$이 되고, 항력이면 항력 계수(drag coefficient) $C_D$가 됩니다.

두 번째 무차원 수는 오스본 레이놀즈(Osborne Reynolds)의 이름을 따서 레이놀즈 수(Reynolds number)라고 합니다.

\[ \mathrm{Re} = \frac{\rho_\infty V_\infty L}{\mu} = \frac{V_\infty L}{\nu} \]

레이놀즈 수를 계산할 때 쓰는 기준 길이가 $L$라는 걸 강조하기 위해 아랫첨자를 붙여 $\mathrm{Re}_L$이라 쓰는 경우도 있습니다.

세 번째 무차원 수는 루트비히 프란틀(Ludwig Prandtl)의 이름을 따서 프란틀 수(Prandtl number)라고 합니다. 물리적 의미는 동점성과 열확산율의 비입니다.

\[ \mathrm{Pr} = \frac{\mu c_p}{k} = \frac{\mu/\rho}{k/(\rho c_p)} = \frac{\nu}{\alpha} \]

네 번째 무차원 수는 그냥 비열비이고, 다섯 번째 무차원 수는 자유흐름 속력과 자유흐름 음속의 비의 제곱입니다. 여기서 에른스트 마흐(Ernst Mach)의 이름을 딴 마하 수(Mach number)1를 아래와 같이 정의합니다(마하 수와 모멘트의 기호가 겹치는 게 좀 마음에 안 들긴 하네요).

\[ M = \frac{V}{a} \]

따라서 다섯 번째 무차원 수는 자유흐름 마하 수 $M_\infty$입니다.

여섯 번째 무차원 수는 윌리엄 프루드2(William Froude)의 이름을 따 프루드 수(Froude number)라고 합니다.

\[ \mathrm{Fr} = \frac{V_\infty}{\sqrt{gL}} \]

마지막 무차원 수는 에른스트 에커트(Ernst Eckert)의 이름을 따 에커트 수(Eckert number)라고 합니다.

\[ \mathrm{Ec} = \frac{V_\infty}{c_p\Delta T} \]

5단계) 무차원 수 7개 사이 관계식은

\[ C_F = f\left(\mathrm{Re}, \mathrm{Pr}, \gamma, M_\infty, \mathrm{Fr}, \mathrm{Ec}\right) \]

$f$가 훨씬 간단한 꼴로 바뀌었습니다!

한편 좌변에 모멘트가 올 때 버킹엄 파이 정리를 적용하면 첫 번째 무차원 수로

\[ \frac{M}{\rho_\infty V_\infty^2 L^3} \]

이 나오는데, 분모에 1/2를 곱하고 $L^2$을 단면적 $S$로 바꾸면 모멘트 계수(moment coefficient)를 얻을 수 있습니다.

\[ C_m = \frac{M}{q_\infty SL} \]

단위 시간동안 물체 표면으로 출입하는 열량 $\dot{q}$가 좌변에 올 때 첫 번째 무차원 수는

\[ \Pi_1 = \frac{\dot{q}}{\rho_\infty V_\infty^3 L^2} \]

인데, 다음과 같이 바꿔봅시다.

\[ \Pi_1^\prime = \Pi_1\Pi_3^{-1}\Pi_7^{-1} = \frac{\dot{q}}{kL\Delta T} \]

마지막으로 분자 분모에 $L$을 곱한 다음 $L^2$을 물체의 표면적 $A$로 바꾸면 평균 누셀트 수(average Nusselt number)가 나옵니다.

\[ \overline{\mathrm{Nu}} = \frac{\dot{q}L}{kA\Delta T} \]

평균 대류 열전달 계수(average convective heat transfer coefficient)를 다음과 같이 정의하면

\[ \bar{h} = \frac{\dot{q}}{A\Delta T} \]

평균 누셀트 수를 평균 대류 열전달 계수로 나타낼 수 있습니다.

\[ \overline{\mathrm {Nu}} = \frac{\bar{h}L}{k} \]

일반적으로 대류 열전달 계수는 $q^{\prime\prime} = h\Delta T$로 정의하며, 누셀트 수는 $\mathrm{Nu}=hL/k$로 정의합니다(기준 길이가 $L$임을 강조하기 위해 $\mathrm{Nu}_L$로 적기도 합니다). 정의에 따라 평균 대류 열전달 계수와 평균 누셀트 수에서 말하는 ‘평균’은 물체의 표면적에 대해 면적 평균을 한다는 뜻이죠.

2차원 유동의 양력, 항력, 모멘트 계수

2차원 유동은 일정한 단면을 갖는 무한히 긴 날개로 취급할 수 있습니다. 이때는 단위 스팬당 양력 $L’$, 항력 $D’$, 모멘트 $M’$가 되고 날개 면적도 역시 단위 스팬당 면적 = 시위 길이가 되어서

  • 2차원 양력 계수: \[c_l = \frac{L’}{q_\infty c}\]
  • 2차원 항력 계수: \[c_d = \frac{D’}{q_\infty c}\]
  • 2차원 모멘트 계수: \[c_m = \frac{M’}{q_\infty c^2}\]

로 바뀝니다.

  1. 옛날 맞춤법에서는 ‘마하’라고 적었지만 맞춤법이 바뀌면서 ‘마흐’라고 적게 되었습니다. 그런데 ‘마하 수’라는 용어까지 바꿔버리기엔 너무 많이 쓰인 용어라 ‘마하 수’는 그대로 두고 사람 이름인 ‘에른스트 마흐’만 바꾸었습니다.
  2. 원래 영국식 발음은 ‘프루드’지만 보통은 미국식 발음인 ‘프라우드’로 읽습니다.