[공기역학] 소리의 속력

위와 같이 좁은 통로 내에 기체가 가득 차있고 한쪽 끝이 피스톤으로 막혀 있는 경우를 생각해봅시다. 이 상황에서 갑자기 피스톤이 아주 느린 속력 $\mathrm dv$로 움직이면 피스톤 앞쪽에 압축된 기체 분자가 차곡차곡 쌓이게 됩니다.

시간이 지날수록 압축된 기체의 양은 증가하고, 압축된 기체와 그렇지 않은 기체 사이 경계가 피스톤 진행 방향으로 움직이게 됩니다. 이렇듯, 피스톤이 만든 아주 작은 교란이 퍼지는 현상을 우리는 소리라고 부릅니다. 여기서 한 가지 주의할 점은 소리의 속력과 압축된 기체의 속력이 다르다는 것입니다. 압축된 기체의 속력은 피스톤과 동일한 $\mathrm dv$고 소리의 속력(=두 기체 사이 경계의 속력)은 그보다 훨씬 빠릅니다.

소리의 속력을 $a$라 하면 경계 입장에서는 오른쪽에서 압축되지 않은 기체가 속력 $a$로 들어오고 왼쪽으로 압축된 기체가 속력 $a-\mathrm dv$로 나갑니다. 또한 압축되지 않은 기체의 압력, 밀도, 온도를 각각 $p$, $\rho$, $T$라 하고 압축된 기체는 거기서 $\mathrm dp$, $\mathrm d\rho$, $\mathrm dT$만큼 변했다고 합시다. 이때 연속 방정식에 의해

\[(\rho+\mathrm d\rho)A(a-\mathrm dv)=\rho Aa\]

\[\rho a = \rho a-\rho\mathrm dv+a\mathrm d\rho-\underbrace{\mathrm d\rho\mathrm dv}_{\approx 0}\]

\[\therefore a\mathrm d\rho = \rho\mathrm dv\]

여기서 $A$는 통로의 단면적입니다. 그다음 운동량 방정식을 쓰면(체적력과 점성은 무시합니다)

\[ (p+\mathrm dp)A-pA = -(\rho+\mathrm d\rho)A(a-\mathrm dv)^2+\rho Aa^2 \]

\[ \mathrm dp = -\rho a(a-\mathrm dv)+\rho a^2 = \rho a\mathrm dv \]

두 식에서 $\mathrm dv$를 소거하면

\[ a=\sqrt{\frac{\mathrm dp}{\mathrm d\rho}} \]

여기서 미분이 등장했는데, 위 유동에서는 열에너지 출입이 무한히 작으므로 정확히 말하자면 등엔트로피 과정을 따라 미분하는 것입니다.

\[ a=\sqrt{\left(\frac{\mathrm dp}{\mathrm d\rho}\right)_s} \]

만약 기체가 이상 기체라면 이상 기체의 등엔트로피 관계식

\[ \frac{p}{\rho^\gamma}=\text{const.} \]

에서

\[ \left(\frac{\mathrm dp}{\mathrm d\rho}\right)_s\frac{1}{\rho^\gamma}
-\gamma\frac{p}{\rho^{\gamma+1}}=0 \]

\[ \left(\frac{\mathrm dp}{\mathrm d\rho}\right)_s = \frac{\gamma p}{\rho} = \gamma RT \]

이므로 따라서

\[ a = \sqrt{\gamma RT} \]

입니다.