와도 수송 방정식
비압축성 유체에 체적력으로 보존력이 작용하는 경우를 생각해봅시다. 운동량
방정식
\begin{equation*} \frac{\uD\V}{\uD t} = \g - \frac{1}{\rho}\nabla p + \nu\nabla^2\V \end{equation*}
의 양변에 회전을 취하면
\begin{gather}
\nabla\times\frac{\uD\V}{\uD t} = \cancel{\nabla\times\g} - \frac{1}{\rho}\cancel{\nabla\times\nabla p} + \nu\nabla\times(\nabla^2\V) = \nu\nabla\times(\nabla^2\V) \nonumber \\
\therefore \nabla\times\left( \frac{\rd\V}{\rd t} + \V\cdot\nabla\V \right) = \nu\nabla\times(\nabla^2\V) \label{eq:mom-curl}
\end{gather}
위 식을 정리하려면 다음 벡터 항등식들이 필요합니다. 좀 많습니다.
\begin{align*}
\nabla\times(\V\cdot\nabla\V) &= \nabla\times\left[ \frac12\nabla(\V\cdot\V) - \V\times(\nabla\times\V) \right] \\
&= -\nabla\times(\V\times\vort) \\
&= -\vort\cdot\nabla\V + \cancel{(\nabla\cdot\V)}\vort - \cancel{(\nabla\cdot\vort)}\V + \V\cdot\nabla\vort \\
&= \V\cdot\nabla\vort - \vort\cdot\nabla\V \\
\nabla^2\V &= \nabla\cancel{(\nabla\cdot\V)} - \nabla\times(\nabla\times\V) \\
&= -\nabla\times\vort \\
\nabla^2\vort &= \nabla\cancel{(\nabla\cdot\vort)} - \nabla\times(\nabla\times\vort) \\
&= -\nabla\times(\nabla\times\vort)
\end{align*}
따라서 식 \eqref{eq:mom-curl}은
\begin{gather}
\frac{\rd\vort}{\rd t} + \V\cdot\nabla\vort - \vort\cdot\nabla\V = \nu\nabla^2\vort \nonumber \\
\therefore \frac{\uD\vort}{\uD t} = \vort\cdot\nabla\V + \nu\nabla^2\vort
\end{gather}
이 방정식을 와도 수송 방정식(vorticity transport equation)라고 합니다.
좌변은 와도의 물질 도함수, 우변 첫 번째 항은 와류 신장(vortex stretching),
우변 두 번째 항은 점성에 의한 와도의 확산을 나타냅니다.
와류 신장은 속도 기울기에 의해 와류, 즉 소용돌이가 늘어나고 줄어드는
현상입니다. 아래 그림으로 보면 명확합니다. 좁아지는 곳에서 유속이 빨라지면서
와도의 크기와 방향이 변하는 거죠.
와류 신장은 3차원 유동 현상이기 때문에 2차원 유동에서는 일어날 수 없습니다.
실제로 2차원 유동에서는
\begin{equation*} \vort = \left( \frac{\rd w}{\rd y} - \frac{\rd v}{\rd z}, \ \frac{\rd u}{\rd z} - \frac{\rd w}{\rd x}, \ \frac{\rd v}{\rd x} - \frac{\rd u}{\rd y} \right) = \left( 0, \ 0, \ \frac{\rd v}{\rd x} - \frac{\rd u}{\rd y} \right) \end{equation*}
이므로 와류 신장을 계산해보면 0이 됩니다.
\begin{equation*} \vort\cdot\nabla\V = \cancel{\omega_x}\frac{\rd\V}{\rd x} + \cancel{\omega_y}\frac{\rd\V}{\rd y} + \omega_z\cancel{\frac{\rd\V}{\rd z}} = 0 \end{equation*}
와도-유선 함수 공식
2차원 유동에서 와도는 $z$ 성분만 있기 때문에, 2차원 유동에서 와도라고 하면
흔히 와도 벡터의 $z$ 성분만을 말합니다.
\[ \omega = \frac{\rd v}{\rd x} - \frac{\rd u}{\rd y} \]
여기에 유선 함수의 정의를 넣으면 유선 함수와 와도 사이 관계식이 하나 나옵니다.
\[ \omega = \frac{\rd}{\rd x}\left( -\frac{\rd\psi}{\rd x} \right) - \frac{\rd}{\rd y}\left( \frac{\rd\psi}{\rd y} \right) = -\nabla^2\psi \label{eq:vs1} \]
그리고 2차원 와도 수송 방정식에도 유선 함수를 대입하면 다른 관계식을 얻습니다.
\[ \frac{\uD\omega}{\uD t} = \frac{\rd\omega}{\rd t} + \frac{\rd\psi}{\rd y}\frac{\rd\omega}{\rd x} - \frac{\rd\psi}{\rd x}\frac{\rd\omega}{\rd y} = \nu\nabla^2\omega \label{eq:vs2} \]
식 \eqref{eq:vs1}와 \eqref{eq:vs2}를 쓰면 2차원 유동을 $\psi$와 $\omega$ 두
변수만으로 표현할 수 있습니다. 이 연립 방정식을 와도-유선 함수
공식(vorticity–stream function formulation)이라고 하며 2차원 유동을
수치적으로 풀 때 사용됩니다.