켈빈의 순환 정리

순환

공간 상에 놓인 폐곡선 $\mathcal{C}$에 대해 순환(circulation)을 다음과 같이 정의합니다.

\[ \Gamma = \oint\limits_\mathcal{C} \V\cdot\ud\mathbf{l} \]

적분 방향은 출처마다 다르지만 2차원의 경우엔 시계 방향이 훨씬 편합니다(그래서 정의에 음의 부호를 붙이는 사람도 있습니다). 폐곡선 $\mathcal{C}$를 경계로 하는 곡면 $D$를 생각하면 스토크스 정리에 의해 순환을 아래와 같은 방식으로도 쓸 수 있습니다.

\[ \Gamma = \iint\limits_D (\nabla\times\V)\cdot\mathbf n\mathrm dS \]

켈빈의 순환 정리

폐곡선 $\mathcal{C}$가 유체와 같이 흘러간다고 하면 $\mathcal{C}$ 상에서 순환은 어떻게 바뀔까요? 순환의 물질 도함수를 계산해봅시다.

\[ \frac{\uD\Gamma}{\uD t} = \frac{\uD}{\uD t}\oint\limits_\mathcal{C} \V\cdot\ud\mathbf l = \oint\limits_\mathcal{C} \frac{\uD\V}{\uD t}\cdot\ud\mathbf l + \oint_\limits{\mathcal{C}} \V\cdot\frac{\uD\ud\mathbf l}{\uD t} \]

$\mathcal{C}$가 시간에 따라 달라지므로 $\ud\mathbf{l}$도 시간의 함수임에 유의합시다. 속도의 물질 도함수는 나비에-스토크스 방정식에 의하여 계산할 수 있습니다.

\[ \frac{\uD\V}{\uD t} = \mathbf{g}-\frac{1}{\rho}\nabla p+\frac{\mu}{\rho}\nabla^2\V+\frac{\mu+\lambda}{\rho}\nabla(\nabla\cdot\V) \]

그리고 $\uD\ud\mathbf{l}/\uD t$는 아래 그림에서

\begin{gather} \ud\mathbf l+\frac{\uD\ud\mathbf l}{\uD t}\Delta t = \left\{\x+\ud\mathbf l+[\V(\x)+\ud\mathbf l\cdot\nabla\V]\Delta t\right\}-\left\{\x+\V(\x)\Delta t\right\} =\ud\mathbf l+\ud\mathbf l\cdot\nabla\V\Delta t \nonumber \\ \therefore \frac{\uD\ud\mathbf l}{\ud t} = \ud\mathbf l\cdot\nabla\V \end{gather}

따라서 순환의 물질 도함수는

\[ \frac{\uD\Gamma}{\uD t} = \oint\limits_\mathcal{C} \left[\mathbf g-\frac{1}{\rho}\nabla p+\frac{\mu}{\rho}\nabla^2\V+\frac{\mu+\lambda}{\rho}\nabla(\nabla\cdot\V)\right]\cdot\ud\mathbf l + \oint\limits_\mathcal{C} \V\cdot(\ud\mathbf l\cdot\nabla\V) \label{eq:circ-matderiv} \]

여기서 세 가지 가정을 도입해봅시다.

  1. 비점성 유동
  2. 밀도가 압력만의 함수이런 유체를 순압 유체(barotropic fluid)라고 합니다. 공기는 순압 유체가 아니지만(밀도가 온도와 압력의 함수) 비압축성으로 가정하면 밀도가 상수이므로 순압 유체입니다.
  3. 체적력이 모두 보존력

일단 식 \eqref{eq:circ-matderiv}에서 점성항을 모두 없앱시다.

\begin{equation*} \frac{\uD\Gamma}{\uD t} = \oint\limits_\mathcal{C} \mathbf{g}\cdot\ud\mathbf{l} - \oint\limits_\mathcal{C} \frac{1}{\rho}\nabla p\cdot\ud\mathbf{l} + \oint\limits_\mathcal{C} \V\cdot(\ud\mathbf{l}\cdot\nabla\V) \end{equation*}

폐곡선을 따라 보존력이 한 일은 0이므로 첫 번째 항은 0입니다. 스토크스 정리를 써서 두 번째 항을 면적분으로 바꾸고 세 번째 항을 약간 정리하면

\begin{align*} \frac{\uD\Gamma}{\uD t} &= -\iint\limits_D \nabla\times\left(\frac{1}{\rho}\nabla p\right)\cdot\ud\mathbf{l} + \frac12 \cancel{\oint\limits_\mathcal{C} \nabla\left(V^2\right)\cdot\ud\mathbf{l}} \\ &= -\iint\limits_D \left( \frac{1}{\rho}\cancel{\nabla\times\nabla p} + \nabla\frac{1}{\rho}\times\nabla p \right) \cdot\ud\mathbf{l} \\ &= \iint\limits_D \frac{1}{\rho^2}(\nabla\rho\times\nabla p)\cdot\ud\mathbf{l} \end{align*}

$\nabla\rho$는 등밀도면의 법선 벡터이고 $\nabla p$는 등압면의 법선 벡터인데 밀도가 압력만의 함수이므로 등밀도면은 등압면과 일치하고 따라서 둘은 나란합니다. 결과적으로 위 세 가지 가정 하에서 순환의 물질 도함수는

\[ \frac{\uD\Gamma}{\uD t} = 0 \]

즉, 보존력만이 작용할 때 순압 비점성 유동에서는 순환이 보존됩니다. 이를 켈빈의 순환 정리(Kelvin's circulation theorem)라고 합니다.

왜 퍼텐셜 유동인가?

위에서 설명했듯이 비압축성 유체는 순압 유체이므로 유체역학에서 다루는 유동 중 가장 간단한 외력이 없는 비압축성, 비점성 유동은 켈빈의 순환 정리를 만족해야 합니다. 여기서 만약 유입 유동이 속도가 일정한 균일 유동(uniform flow)이라면 그 순환은 항상 0이므로 켈빈의 순환 정리에 의해 유동 어디에서든 어떤 폐곡선을 생각하더라도 순환이 0입니다. 따라서 모든 점에서 와도가 0이어야 하고, 결국 이 유동은 퍼텐셜 유동입니다.

물론 현실의 유동은 거의 모두 점성 유동이지만, 퍼텐셜 유동을 가정하여도 꽤나 그럴듯하게 유동을 모사할 수 있습니다. 이때 점성에 의한 효과는 경계층 이론 등을 이용해 계산하게 됩니다.