상태 방정식과 기체의 비열

개요

이전까지 다루었던 지배 방정식 세 개에 포함된 변수는 총 7개입니다.

  1. 밀도 $\rho$
  2. 속도 $u$, $v$, $w$
  3. 압력 $p$
  4. 온도 $T$
  5. 내부 에너지 $e$ (또는 엔탈피 $h$)

그런데 방정식 개수는 연속 방정식 하나, 나비에-스토크스 방정식이 방향별로 총 셋, 에너지 방정식 하나 해서 아직 다섯 개만 다루었습니다. 나머지 두 개는 뭘까요?

상태 방정식

일반적으로 유체의 열역학적 상태는 서로 독립인 두 세기 성질만으로 표현할 수 있습니다.상태 원리(state postulate) 이를 보여주는 것 중 하나가 열역학의 기본 방정식인 상태 방정식(equation of state)으로, 압력과 밀도, 온도 사이 관계를 나타냅니다. 가장 많이 쓰는 상태 방정식은 이상기체 상태 방정식이지만 압력이 높거나 온도가 낮은 경우엔 이게 잘 안 맞기 때문에 이를 변형한 Redlich-Kwong과 같은 방정식을 쓰기도 합니다.

\[ \text{Ideal gas law:} \qquad p = \rho R T \]

여기서 $R$은 비기체상수(specific gas constant)로서 기체상수 8.31 J/mol·K을 분자량으로 나눈 값입니다. 공기의 비기체상수는 약 287 J/kg·K입니다.

기체의 비열

압력 뿐만 아니라 내부에너지와 엔탈피 또한 두 성질을 이용해 나타낼 수 있습니다. 보통은 압력과 온도의 함수로 표현하는데, 사실 온도의 영향이 절대적이다보니 그냥 온도만의 함수로 많이 처리합니다. 내부에너지와 엔탈피가 온도만의 함수인 기체를 열적 완전 기체(thermally perfect gas)라고 부릅니다. 이상 기체는 열적 완전 기체의 일종입니다.

내부에너지와 엔탈피를 수식으로 간단히 나타내기 위해 기체의 비열을 정의하기도 합니다. 정적 비열(specific heat at constant volume)은 단위 질량당 내부에너지를 온도로 편미분한 값입니다.

\[ c_v = \frac{\rd e}{\rd T} \]

정압 비열(specific heat at constant pressure)은 단위 질량당 엔탈피를 온도로 편미분한 값입니다.

\[ c_p = \frac{\rd h}{\rd T} \]

열적 완전 기체에서는 온도에 대한 편미분을 그냥 미분으로 쓸 수 있고 비열 역시 온도만의 함수입니다.

\begin{align} c_v &= \frac{\ud e}{\ud T} & &\Rightarrow & \ud e &= c_v \ud T \\ c_p &= \frac{\ud h}{\ud T} & &\Rightarrow & \ud h &= c_p \ud T \end{align}

나아가 비열이 완전히 상수인 경우를 생각하면 내부에너지와 엔탈피는 훨씬 간단한 수식으로 표현됩니다. 이런 기체를 열량적 완전 기체(calorically perfect gas)라고 합니다.

\begin{align} \Delta e &= c_v \Delta T \\ \Delta h &= c_p \Delta T \end{align}

비열 사이의 관계와 비열비

이상 기체를 가정합시다. 이때 상태 방정식에서 $p/\rho=RT$이므로 엔탈피의 정의를 다르게 쓸 수 있습니다.

\[ h = e + \frac{p}{\rho} = e + RT \]

미분형으로 고치면

\begin{gather} \ud h = \ud e + R \ud T \nonumber \\ c_p \ud T = c_v \ud T + R \ud T \nonumber \\ \therefore c_p - c_v = R \end{gather}

즉, 이상 기체에서 정압 비열은 정적 비열보다 정확히 비기체상수만큼 큽니다. 그리고 비열비(specific heat ratio)를

\[ \gamma = \frac{c_p}{c_v} \]

와 같이 정의하면 이상 기체의 비열은 비기체상수와 비열비로 나타낼 수 있습니다.

\begin{gather} \gamma = \frac{c_v + R}{c_v} = 1 + \frac{R}{c_v} \nonumber \\ \therefore c_v = \frac{R}{\gamma-1}, \quad c_p = c_v + R = \frac{\gamma R}{\gamma-1} \end{gather}

열 방정식

정지한 비압축성 유체에 일정한 압력이 가해지는 상황을 생각해봅시다. 그러면 에너지 방정식에서 항이 여럿 날아갑니다.

\[ \rho\frac{\rd h}{\rd t} = \nabla\cdot(k\nabla T) \]

유체가 열량적으로 완전하다면 엔탈피 변화는 정압 비열과 온도 변화의 곱이므로

\[ \rho c_p \frac{\rd T}{\rd t} = \nabla\cdot(k\nabla T) \]

만약 $k$까지 상수인 경우 방정식은 더욱 간단해집니다.

\[ \frac{\rd T}{\rd t} = \frac{k}{\rho c_p} \nabla^2 T \]

이 방정식은 열의 세가지 이동 형태 중 하나인 전도를 설명하는 방정식으로, 흔히 열 방정식(heat equation)이라고 합니다. 굳이 열과 관련된 상황이 아니더라도 이렇게 변수의 시간 미분과 라플라시안이 비례하는 상황이 많기 때문에 여기저기서 잘 쓰이는 방정식입니다. 한편 비례상수 $k/(\rho c_p)$는 특별히 열확산율(thermal diffusivity)로 정의하며 기호로는 $\alpha$로 나타냅니다.