연속 방정식

연속 방정식의 유도

레이놀즈 수송 정리에 다양한 물리량을 적용하면 유체 운동을 기술하는 여러 지배 방정식(governing equation)을 도출할 수 있습니다. 제일 먼저 $\Phi=m$, $\phi=1$을 대입해봅시다.

\[ \frac{\uD m_{sys}}{\uD t} = \frac{\partial}{\partial t}\CV\rho\ud\mathcal{V} + \CS\rho\V\cdot\mathbf{n}\ud S \]

그런데 질량 보존의 법칙에 의해 특정 유체 집합이 가지는 질량의 총합이 변할 순 없으므로 좌변은 0입니다.

\[ \frac{\partial}{\partial t}\CV\rho\ud\mathcal{V} + \CS\rho\V\cdot\mathbf{n}\ud S = 0 \]

이를 연속 방정식(continuity equation)이라고 합니다. 이건 적분형이고, 미분형을 얻으려면 여기에 발산 정리를 써서 면적분을 부피적분으로 바꿔야 합니다.

\[ \frac{\partial}{\partial t}\CV\rho\ud\mathcal{V} + \CV\nabla\cdot(\rho\V)\ud\mathcal{V} = 0 \]

적분 영역인 검사체적은 시간에 따라 변하지 않으므로 $\partial/\partial t$는 적분 안으로 넣을 수 있습니다.

\[ \CV\left[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\V) \right]\ud\mathcal{V} = 0 \]

여기서 검사체적은 어떻게 잡든 상관이 없는데, 임의의 적분 영역에 대해 적분값이 항상 0이려면 피적분 함수가 항상 0이어야 합니다. 따라서 연속 방정식의 미분형을 얻습니다.

\[ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho\V) = 0 \]

만약 정상 유동이라면 $\partial/\partial t=0$이므로

\[ \nabla\cdot(\rho\V) = 0 \]

이고, 비압축성 유동에서는 $\rho$가 상수이므로

\[ \nabla\cdot\V = 0 \]

가 됩니다.

속도의 발산이 갖는 물리적 의미

연속 방정식을 다시 쓰면

\begin{gather} \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \V) = \frac{\partial \rho}{\partial t} + \V \cdot \nabla \rho + \rho \nabla \cdot \V = 0 \\ \therefore \nabla\cdot\V = -\frac{1}{\rho}\left( \frac{\partial\rho}{\partial t}+\V\cdot\nabla\rho \right) = -\frac{1}{\rho}\frac{\uD\rho}{\uD t} \end{gather}

밀도 대신 밀도의 역수인 비체적(specific volume) $𝓋$를 대입하면

\[ \nabla\cdot\V = -𝓋\frac{\uD(1/𝓋)}{\uD t} = \frac{1}{𝓋}\frac{\uD 𝓋}{\uD t} \]

즉, 속도의 발산은 유체 요소의 단위 부피당 부피의 시간 변화율이며, 따라서 이를 부피팽창률(rate of dilatation 또는 간단히 dilatation)이라고도 부릅니다. 비압축성 유동에서는 부피팽창률이 0이므로 밀도가 변하지 않는다는 사실과 잘 일치하죠.